問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

微分の計算問題

■問題

次の条件を満たす時，3次関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ を求めよ．

${\displaystyle x{f}^{″}\left(x\right)+\left(3+x\right)f^{\prime }\left(x\right)-3f\left(x\right)=0}$

(${\displaystyle f\left(0\right)=1}$を満たす．)

■答

${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{1}{16}{x}^3+\frac{1}{4}{x}^2+x+1}$

■ヒント

${\displaystyle f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d}$ とおく．

■解説

${\displaystyle f\left(x\right)}$ は3次関数なので

${\displaystyle f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d}$

と置く．

${\displaystyle f\left(0\right)=1}$ より

${\displaystyle f\left(0\right)=a·0^3+b·0^2+c·0+d=1}$

${\displaystyle d=1}$

よって

${\displaystyle f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+1}$ ･･････(1)

また

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=3a{x}^2+2bx+c}$  ･･････(2)

${\displaystyle f^{″}\left(x\right)=6ax+2b}$ ･･････(3)

となりる．

(1)，(2)，(3)を与式に代入する．

（４）がすべてのx で成り立つためには各項の係数が0でなければならない．よって

${\displaystyle \{\begin{array}{l}15a-b=0\\ 4b-c=0\\ c-1=0\end{array}}$

の連立方程式が得られる．これを解くと

${\displaystyle c=1}$ ，${\displaystyle b=\frac{1}{4}}$，${\displaystyle a=\frac{1}{60}}$

となる．したがって

${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{1}{16}{x}^3+\frac{1}{4}{x}^2+x+1}$

となる．

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年10月9日

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