微分に関する問題

■問題

次の関数の $y^{″}$ を $x$ を用いずに， $y$ ， $y^{'}$ を用いて表せ．

$y = e^{a x} \cos b x$

$y^{″} = - (a^{2} + b^{2}) y + 2 a y^{'}$

$y = e^{a x} \cos b x$ ･･････(1)

$y^{'} = {(e^{a x})}^{'} \cos b x + e^{a x} {(\cos b x)}^{'}$

$= a e^{a x} \cos b x - b e^{a x} \sin b x$

$= e^{a x} (a \cos b x - b \sin b x)$ ･･････(2)

$y^{″} = {(e^{a x})}^{'} (a \cos b x - b \sin b x)$ $+ e^{a x} (a \cos b x$ ${- b \sin b x)}^{'}$

$= a e^{a x} (a \cos b x - b \sin b x)$ $+ e^{a x} (- a b \sin b x$ $- b^{2} \cos b x)$

$= a^{2} e^{a x} \cos b x - 2 a b e^{a x} \sin b x$ $- b^{2} e^{a x} \cos b x$

$= (a^{2} - b^{2}) e^{a x} \cos b x - 2 a b e^{a x} \sin b x$ ･･････(3)

(1)より

$e^{a x} \cos b x = y$ ･･････(4)

(4)，(2)より

$y^{'} = a y - b e^{a x} \sin b x$

$b e^{a x} \sin b x = a y - y^{'}$ ･･････(5)

(4)，(5)を(3)に代入する．

$y^{″} = (a^{2} - b^{2}) y - 2 a (a y - y^{'})$

$= a^{2} y - b^{2} y - 2 a^{2} y + 2 a y^{'}$

$= - (a^{2} + b^{2}) y + 2 a y^{'}$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年10月9日