問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=e^{3x}}$

■答

${\displaystyle y={\mathrm{3e}}^{3x}}$

■ヒント

合成関数の微分

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}}$

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle y=e^{3x}}$

を

${\displaystyle y=e^u}$，${\displaystyle u=3x}$

とおく．

${\displaystyle \frac{dy}{du}=e^u}$，${\displaystyle \frac{du}{dx}=3}$

よって

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}}$${\displaystyle =e^u\cdot (3)}$${\displaystyle ={\mathrm{3e}}^{3x}}$

●別解

合成関数の微分

${\displaystyle {\left\{f\left(g\left(x\right)\right)\right\}}^{\prime }=f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)·g^{\prime }\left(x\right)}$

の公式を用いた場合

${\displaystyle {\displaystyle y=e^{3x}}}$，${\displaystyle f(u)=e^u}$，${\displaystyle u=g(x)=3x}$

と考える．

${\displaystyle f^{\prime }(u)=e^u}$ 　→　 ${\displaystyle f^{\prime }(g(x))=e^{3x}}$，${\displaystyle g^{\prime }(x)=3}$

となる．よって

${\displaystyle y^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)}$${\displaystyle {=e}^{3x}\cdot 3}$${\displaystyle {=\mathrm{3e}}^{3x}}$

 

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年10月9日

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