偏微分とその値

■問題

次の関数について $f_{x} (1, - 2)$ と $f_{y} (1, - 2)$ を求めよ．

$f (x, y) = {sin}^{- 1} \frac{x}{y}$

■答

それぞれ，

- \frac{1}{\sqrt{3}}

，

\frac{1}{2 \sqrt{3}}

■ヒント

${sin}^{- 1}$ の微分を，合成関数の微分によって行う．
偏導関数の定義を用いて偏微分する．
微分後の式に数値を代入する．

■解説

$u = \frac{x}{y}$ とおくと

$f (x, y) = {sin}^{- 1} u$

微分する．

$\frac{d}{d u} f (x, y)$ $= \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$

$u = \frac{x}{y}$ を代入する．

$= \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{y})}^{2}}}$

$= \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{y^{2}}}}$

通分する．

$= \frac{1}{\sqrt{\frac{y^{2} - x^{2}}{y^{2}}}}$

$= \sqrt{\frac{y^{2}}{y^{2} - x^{2}}}$

$\frac{\partial u}{\partial x}$ $= \frac{1}{y}$

偏導関数の定義より， $y$ を定数とみなして $x$ で微分する．

$\frac{d}{d u} f (x, y) \times \frac{\partial u}{\partial x}$ $= \sqrt{\frac{y^{2}}{y^{2} - x^{2}}} \times (\frac{1}{y})$ $= \frac{1}{y} \sqrt{\frac{y^{2}}{y^{2} - x^{2}}}$

$\frac{\partial}{\partial x} f (x, y) = \frac{1}{y} \sqrt{\frac{y^{2}}{y^{2} - x^{2}}}$

$\frac{1}{y} \sqrt{\frac{y^{2}}{y^{2} - x^{2}}}$ に $x = 1, y = - 2$ を代入する．

$f_{x} (1, - 2)$ $= \sqrt{\frac{{(- 2)}^{2}}{{(- 2)}^{2} - 1^{2}}} \times (\frac{1}{- 2})$ $= \frac{2}{\sqrt{3}} \times (\frac{1}{- 2})$ $= - \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\frac{\partial u}{\partial y}$ $= - \frac{x}{y^{2}}$

偏導関数の定義より， $x$ を定数とみなして $y$ で微分する．

$\frac{d}{d u} f (x, y) \times \frac{\partial u}{\partial y}$ $= \sqrt{\frac{y^{2}}{y^{2} - x^{2}}} \times (- \frac{x}{y^{2}})$ $= - \frac{x}{y^{2}} \sqrt{\frac{y^{2}}{y^{2} - x^{2}}}$

$\frac{\partial}{\partial y} f (x, y) = - \frac{x}{y^{2}} \sqrt{\frac{y^{2}}{y^{2} - x^{2}}}$

$- \frac{x}{y^{2}} \sqrt{\frac{y^{2}}{y^{2} - x^{2}}}$ に $x = - 1, y = 2$ を代入する．

$f_{y} (1, - 2) = - \frac{1}{{(- 2)}^{2}} \sqrt{\frac{{(- 2)}^{2}}{{(- 2)}^{2} - 1^{2}}}$ $= \frac{1}{2 \sqrt{3}}$

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最終更新日： 2023年8月24日