問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

合成関数の偏微分

■問題

z= x 2 + y 2 ,x=tsint,y=1cost のとき, dz dt を求めよ.

■答

=2t 1cost

■ヒント

合成関数の偏微分の公式を用いて偏微分する.

■解説

x α の微分の公式 sinx の微分の公式より

dx dt =1cost

cosx の微分の公式より

dy dt =sint

偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分すると

z x = z x =2x

偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分すると

z y = z y =2y

以上から

合成関数の偏微分の公式より

dz dt = z x dx dt + z y dy dt

上で求めた式をそれぞれ代入すると,

=2x( 1cost )+2y( sint )

=2x( 1cost )+2ysint

=2 tsint 1cost +2 1cost sint

=2 1cost tsint+sint

=2t 1cost

 

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学生スタッフ作成

2023年8月28日

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