問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

2次の偏微分

■問題

次の関数の第2次偏導関数を求めよ.

z=sin xy

■答

2 z x 2 = y 4x x cos xy y 4x sin xy 2 z y 2 = y 4x x cos xy y 4x sin xy 2 z yx = 2 z xy = 1 4 xy cos xy 1 4 sin xy

■ヒント

2次偏導関数 2 z x 2 2 z y 2 2 z yx 2 z xy の4つを求める.

z x z y を計算してから,それぞれを更に x y で偏微分する.

■解説

z x の計算

z=sin xy 偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分する.

z x = x sin xy

=cos xy × x xy

=cos xy × x { ( xy ) 1 2 }

=cos xy × x ( x 1 2 y 1 2 )

= cos x y × 1 2 x 1 2 y 1 2

= cos x y × y 2 x

= y 2 x cos x y  ・・・・・・(1)

z y の計算

z=sin xy 偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分する.

z y = y sin xy

=cos xy × y xy

=cos xy × y { ( xy ) 1 2 }

=cos xy × y ( x 1 2 y 1 2 )

=cos xy × 1 2 x 1 2 y 1 2

=cos xy × x 2 y

= x 2 y cos xy  ・・・・・・(2)

2 z x 2 の計算

(1)を更に, 偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分する.

2 z x 2 = x ( z x )

= x ( y 2 x cos xy )

= x ( y 2 x )×cos xy + y 2 x × x ( cos xy )

= x ( y 2 x 1 2 )×cos xy + y 2 x ×( sin xy )× x ( xy )

= 1 2 × y 2 × x 3 2 ×cos xy y 2 x sin xy × x { ( xy ) 1 2 }

= y 4x x cos xy y 2 x sin xy × x ( x 1 2 y 1 2 )

= y 4x x cos xy y 2 x sin xy × 1 2 x 1 2 y 1 2

= y 4x x cos xy y 2 x sin xy × y 2 x

= y 4x x cos xy y 4x sin xy

2 z y 2 の計算

(2)を更に, 偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分する.

2 z y 2 = y ( z y )

= y ( x 2 y cos xy )

= y ( x 2 y )×cos xy + x 2 y × y ( cos xy )

= y ( x 2 y 1 2 )×cos xy + x 2 y ×( sin xy )× y ( xy )

= 1 2 × x 2 × y 3 2 ×cos xy x 2 y sin xy × y { ( xy ) 1 2 }

= x 4y y cos xy x 2 y sin xy × y ( x 1 2 y 1 2 )

= x 4y y cos xy x 2 y sin xy × 1 2 x 1 2 y 1 2

= x 4y y cos xy x 2 y sin xy × x 2 y

= x 4y y cos xy x 4y sin xy

2 z yx の計算

(1)を更に,偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分する.

2 z yx = y ( z x )

= y ( y 2 x cos xy )

積の微分の公式を用いて,

= y ( y 2 x )×cos xy + y 2 x × y ( cos xy )

= y ( 1 2 x y 1 2 )×cos xy + y 2 x ×( sin xy )× y ( xy )

= 1 2 × 1 2 x × y 1 2 ×cos xy y 2 x sin xy × y { ( xy ) 1 2 }

= 1 4 xy cos xy y 2 x sin xy × y ( x 1 2 y 1 2 )

= 1 4 xy cos xy y 2 x sin xy × 1 2 x 1 2 y 1 2

= 1 4 xy cos xy y 2 x sin xy × x 2 y

= 1 4 xy cos xy xy 4 xy sin xy

= 1 4 xy cos xy 1 4 sin xy  ・・・・・・(3)

2 z xy の計算

(2)を更に,偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分する.

2 z xy = x ( z y )

= z x ( x 2 y cos xy )

= z x ( x 2 y )×cos xy + x 2 y ×( sin xy )× x ( xy )

= 1 2 × 1 2 y × 1 x ×cos xy + x 2 y ×( sin xy )× 1 2 y x

= 1 4 xy cos xy 1 4 sin xy  ・・・・・・(4)

(3),(4)より

2 z yx = 2 z xy

となり,2次偏導関数は偏微分する順序には無関係であることが確かめられた.

 

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年8月31日

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