問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

陰関数の2次導関数

■問題

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ について ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ を求めよ．

${\displaystyle x^3+y^3-3axy=0}$

■答

${\displaystyle -\frac{2a^{3}xy}{{\left(y^2-ax\right)}^3}}$ 

■ヒント

まず，${\displaystyle x^3+y^3-3axy=0}$ より，${\displaystyle f\left(x,y\right)=f\left(x,\varphi \left(x\right)\right)=0}$ となる2変数関数 ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$を$x$ で微分する．その結果から${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ を求める．

■解説

⇒別解

${\displaystyle f\left(x,y\right)=f\left(x,\varphi \left(x\right)\right)=x^3+y^3-3axy}$

とおく．${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ を${\displaystyle x=x}$ ，${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ とする合成関数と考えて，これを${\displaystyle x}$ で微分すると

${\displaystyle \frac{d}{dx}f\left(x,y\right)}$${\displaystyle =f_x\frac{dx}{dx}+f_y\frac{dy}{dx}}$

合成関数の偏導関数の公式を用いた．

${\displaystyle =f_x+f_y\frac{dy}{dx}=0}$

よって

${\displaystyle f_y\frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =-f_x}$

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =-\frac{f_x}{f_y}}$　･･････(1)

ここで

${\displaystyle f_x}$${\displaystyle =3x^2-3ay}$　･･････(2)

${\displaystyle f_y}$${\displaystyle =3y^2-3ax}$　･･････(3)

(1)に(2)，(3)を代入すると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =-\frac{f_x}{f_y}}$${\displaystyle =-\frac{3x^2-3ay}{3y^2-3ax}}$${\displaystyle =-\frac{x^2-ay}{y^2-ax}}$　･･････(4)

となる．

${\displaystyle g\left(x,y\right)=g\left(x,\varphi \left(x\right)\right)=-\frac{x^2-ay}{y^2-ax}}$　･･････(5)

とおく． ${\displaystyle g\left(x,y\right)}$ も合成関数となり， ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ と同様に微分すると，

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$${\displaystyle =\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)}$

${\displaystyle =\frac{d}{dx}\left\{g\left(x,y\right)\right\}}$

合成関数の偏導関数の公式を用いる．

${\displaystyle =g_x+g_y\frac{dy}{dx}}$　･･････(6)

ここで

${\displaystyle g_x}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}g\left(x,y\right)}$

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(-\frac{x^2-ay}{y^2-ax}\right)}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなし， ${\displaystyle x}$ で微分する．
分数関数の微分の公式を用いる．

${\displaystyle =-\frac{2x\left(y^2-ax\right)-\left(x^2-ay\right)\left(-a\right)}{{\left(y^2-ax\right)}^2}}$

${\displaystyle =-\frac{2x{y}^2-2a{x}^2+a{x}^2-a^{2}y}{{\left(y^2-ax\right)}^2}}$

${\displaystyle =-\frac{-a{x}^2+2x{y}^2-a^{2}y}{{\left(y^2-ax\right)}^2}}$　･･････(7)

${\displaystyle g_y}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}g\left(x,y\right)}$

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(-\frac{x^2-ay}{y^2-ax}\right)}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなし， ${\displaystyle y}$ で微分する．
分数関数の微分の公式を用いる．

${\displaystyle =-\frac{-a\left(y^2-ax\right)-\left(x^2-ay\right)·2y}{{\left(y^2-ax\right)}^2}}$

${\displaystyle =-\frac{-a^{2}y+a{x}^2-2x^{2}y-2a{y}^2}{{\left(y^2-ax\right)}^2}}$

${\displaystyle =-\frac{-a^{2}y-2x^{2}y+a{x}^2}{{\left(y^2-ax\right)}^2}}$　･･････(8)

(6)に(7)，(8)，(4)を代入する．

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$${\displaystyle =g_x+g_y\frac{dy}{dx}}$

ここで，与式より${\displaystyle x^3+y^3-3axy=0}$ であるから

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$${\displaystyle =-\frac{2a^{3}xy}{{\left(y^2-ax\right)}^3}}$

■別解

${\displaystyle x^3+y^3-3axy=0}$　･･････(9)

(9)の両辺を$x$で微分する．

${\displaystyle 3x^2+3y^2\frac{dy}{dx}-3ay-3ax\frac{dy}{dx}=0}$

${\displaystyle x^2+y^2\frac{dy}{dx}-ay-ax\frac{dy}{dx}=0}$　･･････(10)

(10)を${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ について解く．

${\displaystyle \left(y^2-ax\right)\frac{dy}{dx}=-x^2+ay}$

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{x^2-ay}{y^2-ax}}$　･･････(11)

(10)を${\displaystyle x}$ さらに${\displaystyle x}$ で微分する．

(12)を${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ について解く．

${\displaystyle \left(y^2-ax\right)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$${\displaystyle =-2x-2y{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2+2a\frac{dy}{dx}}$

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$${\displaystyle =\frac{-2}{y^2-ax}\left\{x+y{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2-a\frac{dy}{dx}\right\}}$　･･････(13)

(13)に(11)を代入する．

${\displaystyle =-2\cdot \frac{x{y}^4-3a{x}^2{y}^2+x^{4}y+a^{3}xy}{{\left(y^2-ax\right)}^3}}$

${\displaystyle =-2xy\cdot \frac{y^3-3axy+x^3+a^3}{{\left(y^2-ax\right)}^3}}$

ここで，(9)より

${\displaystyle =-2xy\cdot \frac{a^3}{{\left(y^2-ax\right)}^3}}$

${\displaystyle =-\frac{2xy{a}^3}{{\left(y^2-ax\right)}^3}}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年9月15日

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