問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

陰関数の極値

■問題

次の関係で定義される陰関数 y=ϕ( x ) 極値を調べよ.

x 4 16xy+3 y 4 =0

■答

x=2 のとき,極小値 2 をとり, x=2 のとき,極大値 2 をとる.
( 0,0 ) は特異点である.

■ヒント

関数の極値の定理2を用いて極大・極小を判断する.

■解説

f( x,y )= x 4 16xy+3 y 4  ・・・・・・(1)

とおく.

(1)を偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分する.

f x = x f( x,y ) = x ( x 4 16xy+3 y 4 ) =4 x 3 16y

よって, f x x,y =0 となるのは

4 x 3 16y =0

16y =4 x 3

y = 1 4 x 3  ・・・・・・(2)

この関係を与式に代入して

x 4 16x·( 1 4 x 3 )+3· ( 1 4 x 3 ) 4 =0

x 4 4 x 4 + 3 4 4 x 12 =0

3 4 4 x 12 3 x 4 =0

1 4 4 x 12 x 4 =0

1 4 4 x 12 x 4 =0

( 1 4 x 3 ) 4 x 4 =0

{ ( 1 4 x 3 ) 2 + x 2 }{ ( 1 4 x 3 ) 2 x 2 } =0

{ ( 1 4 x 3 ) 2 + x 2 }( 1 4 x 3 +x )( 1 4 x 3 x ) =0

{ ( 1 4 x 3 ) 2 + x 2 =0( 3 ) 1 4 x 3 +x=0( 4 ) 1 4 x 3 x=0( 5 )

(3)より

1 16 x 6 + x 2 =0
x 2 ( 1 16 x 4 +1 ) =0

{ x 2 =0( 6 ) 1 16 x 4 +1=0( 7 )

(6)より

x=0

(7)より

1 16 x 4 =1

x 4 =16

となり,これを満たす x はない.

次に,(4)より

1 4 x 3 +x =0

x( 1 4 x 2 +1 ) =0

{ x=0 1 4 x 2 +1=0( 8 )

(8)より

1 4 x 2 =1

となり,これを満たす x はない.

最後に(5)から

x 1 4 x 2 1 =0

{ x=0 1 4 x 2 1=0( 9 )

(9)から

1 4 x 2 =1

x 2 =4

x =±2

以上から, f x x,y =0 を満たす x x=0,±2 となる.

故に極値をとる候補は,(2) の関係から

x=0 のとき

y=0

x=2 のとき

y = 1 4 · 2 3 = 1 4 ·8 =2

x=2 のとき

y = 1 4 · ( 2 ) 3 = 1 4 ·( 8 ) =2

となり, ( 0,0 ),( 2,2 ),( 2,2 ) の3点となる.

次に,上記3点( y =0 ,言い換えると, f x x,y =0 )における y を求める.この場合

y = d 2 y d x 2 = f xx f y  ・・・・・・(10)

の関係がある.(関数の極値の定理2を参照)

f xx = x f x = x ( 4 x 3 16y ) =12 x 2  ・・・・・・(11)

f y = y ( x 4 16xy+3 y 4 ) =16x+12 y 3  ・・・・・・(12)

(11),(12)に(10)を代入して

y = 12 x 2 16x+12 y 3 = 3 x 2 4x+3 y 3 = 3 x 2 4x3 y 3


( 0,0 ) のとき y

y = 3· 0 2 4·03· 0 3 =0

よって

y =0

( 2,2 ) のとき y は,

y = 3· 2 2 4·23· 2 3 = 3·4 83·8 = 12 824 = 12 16 = 3 4

よって

y <0


( 2,2 ) のとき y

y = 3· ( 2 ) 2 4·( 2 )3· ( 2 ) 3 = 3·4 83·( 8 ) = 12 8+24 = 12 16 = 3 4

よって

y >0

以上から, x=2 のとき,極小値 2 をとり, x=2 のとき,極大値 2 をとる.
( 0,0 ) は特異点である.

 

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年9月18日

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