最小値の計算

最小値の計算

■問題

x+y+z=1  のとき

x 2 +2 y 2 + z 2  の最小値とそのときの x y z の値をを求めよ.

■答

最小値は, x= 2 5 ,y= 1 5 ,z= 2 5   のとき,  2 5   となる.

■解説

x+y+z=1 の関係を用いて文字を減らす.今回は

z=1xy  

として, z を消去する.

x 2 +2 y 2 + z 2 = x 2 +2 y 2 + ( 1xy ) 2  ・・・・・・(1)

(1)を x について整理し,平方完成していく( x に関して平方完成し,次に定数項( x を含まない項)を y に関して平方完成する)と

= x 2 + 2 y 2 + 1 + x 2 + y 2 2 x + 2 x y 2 y

= 2 x 2 + 2 ( y 1 ) x + 3 y 2 2 y + 1

= 2 ( x + y 1 2 ) 2 ( y 1 ) 2 2 + 3 y 2 2 y + 1

= 2 ( x + y 1 2 ) 2 + 5 2 y 2 y + 1 2

= 2 ( x + y 1 2 ) 2 + 5 2 ( y 1 5 ) 2 + 2 5  ・・・・・・(2)

が得られる.最小値は

x+ y1 2 =0,y 1 5 =0  のとき, 2 5  

となる.すなわち,最小値は

x= 2 5 ,y= 1 5 ,z= 2 5   のとき, 2 5  

となる.

 

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最終更新日: 2023年7月15日