問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

cosec 2 5 x + π 3 d x  

■答

1 5 cot( 5x+ π 3 )+C   Cは積分定数)

■ヒント

基本となる関数の積分の三角関数の積分より

cosec 2 x d x = cot x + C    ・・・・・・(1)

の公式を用いる.

■解説

cosec 2 ( 5x+ π 3 )dx  

5x+ π 3 =t と置いて,置換積分する.(置換積分の詳細は置換積分法を参照)

dt dx =5  →  dx= 1 5 dt  

よって

与式 = cosec 2 t· 1 5 dt  

= 1 5 cosec 2 tdt  

不定積分の基本式の1つ目の式を参照)

= 1 5 ·( cott )+C  

(ヒントの公式(1)を適用した)

= 1 5 cott+C  

= 1 5 cot( 5x+ π 3 )+C  

(最初に, 5x+ π 3 =t と置換したので,元に戻した)

●備考

この公式

f ( a x + b ) d x = 1 a F ( a x + b ) + C

を使ってもよい.


■確認問題

求まった答え 1 5 cot( 5x+ π 3 )+C を微分し,積分前の式 cosec 2 ( 5x+ π 3 ) に戻ることを確認しなさい.

 

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最終更新日: 2023年11月24日

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