問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

tan(x/2)=t とおく置換積分の問題(3)

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle \int \frac{1}{sinx+cosx+1}dx}$ 　を ${\displaystyle tan\frac{x}{2}=t}$ 　と置換して解きなさい．

■答

${\displaystyle log\left|tan\frac{x}{2}+1\right|+C}$     （$C$ は積分定数）

■ヒント

手順1：
　半角の公式または2倍角の公式を用いて${\displaystyle sinx}$と${\displaystyle cosx}$を変数${\displaystyle t}$を用いて表す．

手順2：
　${\displaystyle tan\frac{x}{2}=t}$を微分し，${\displaystyle dx}$と${\displaystyle dt}$の関係式を求める．

手順3：
　求めた2つの式を用いて置換積分する．（変数${\displaystyle x}$ を変数${\displaystyle t}$ に変換する）

■解説

・まず，${\displaystyle sinx}$を変数${\displaystyle t}$を用いて表す．⇒導出はここを参照

${\displaystyle sinx=\frac{2t}{1+t^2}}$ 　･･････(1)　

・${\displaystyle cosx}$の式も同様に${\displaystyle t}$の式に変換する．⇒導出はここを参照

${\displaystyle cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}}$　･･････(2)

・次に ${\displaystyle tanx=\frac{2t}{1-t^2}}$ を導き${\displaystyle dx=\frac{2}{1+t^2}dt}$を導出する．

${\displaystyle tan2x=\frac{2tanx}{1-{tan}^{2}x}}$

（2倍角の公式の${\displaystyle 3}$ つ目を参照）

${\displaystyle tanx=\frac{2tan\frac{x}{2}}{1-{tan}^2\frac{x}{2}}}$ 　

（${\displaystyle x}$を${\displaystyle \frac{x}{2}}$に置き換える）

${\displaystyle tanx=\frac{2t}{1-t^2}}$ 　

（${\displaystyle tan\frac{x}{2}}$を${\displaystyle t}$に置き換える)

ここで${\displaystyle dx}$と${\displaystyle dt}$の関係式を求める．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}={\left(tan\frac{x}{2}\right)}^{\prime }}$

（ ${\displaystyle tanx}$ の微分と合成関数の微分を参照 ）

${\displaystyle =\frac{1}{{cos}^2\frac{x}{2}}·{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\prime }}$

（ 微分計算の詳細については，導関数の基本式 I を参照 ）

${\displaystyle =\frac{1}{{cos}^2\frac{x}{2}}·\frac{1}{2}}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(1+{tan}^2\frac{x}{2}\right)}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(1+t^2\right)}$ 　

よって， ${\displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{1+t^2}{2}}$ より

${\displaystyle dt=\frac{1+t^2}{2}dx}$ 　

つまり

${\displaystyle dx=\frac{2}{1+t^2}dt}$ 　･･････(3)　

最後に(1)，(2)，(3)式を問題の式に代入し，計算する．

${\displaystyle \int \frac{1}{\sin x+\cos x+1}dx}$${\displaystyle =\int \frac{1}{\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}+1}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt}$

${\displaystyle =\int \frac{1}{\frac{2t+1-t^2+1+t^2}{1+t^2}}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt}$

${\displaystyle =\int \frac{1}{\frac{2t+2}{1+t^2}}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt}$

${\displaystyle =\int \frac{1+t^2}{2\left(t+1\right)}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt}$

${\displaystyle =\int \frac{1}{t+1}dt}$

${\displaystyle =\log \left|t+1\right|+C}$

${\displaystyle t=tan\frac{x}{2}}$ を代入して，変数を元の${\displaystyle x}$ に戻すと

${\displaystyle \int \frac{1}{sinx+cosx+1}dx}$${\displaystyle =log\left|tan\frac{x}{2}+1\right|+C}$

となる．

■確認問題

求まった答え　${\displaystyle log\left|tan\frac{x}{2}+1\right|+C}$を微分し，積分前の式${\displaystyle \frac{1}{sinx+cosx+1}}$に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2024年3月4日

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