問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

平面図形の重心を求める問題

■問題

直線 y=x と曲線 y= x 2 4x+4 で囲まれた図形の重心 G の位置を求めよ.ただし,重心 の x 座標を x G y 座標を y G とする.

■答

( x G , y G ) = ( 5 2 , 8 5 )  

■ヒント

平面の重心の計算より

x G = 1 S a b xf( x ) dx

y G = 1 S c d yg( y ) dy

の公式を用いる.

■解説

●図形の面積Sを求める

まず,直線 y=x と曲線 y= x 2 4x+4 の交点を求める.

y=x y= x 2 4x+4

 ・・・・・・(1)

 ・・・・・・(2)

(1)を(2)に代入する.

x= x 2 4x+4  ・・・・・・(3)

(3)をx について解く.

x 2 5x+4=0 x1 x4 =0 x=1,4  ・・・・・・(4)

(4)と(1)より,交点座標は

1,1 4,4

となる.

よって,求める面積Sは(面積の求め方は,面積の計算を参照)

S = 1 4 | f 1 ( x ) f 2 ( x ) | d x

= 1 4 { x ( x 2 4 x + 4 ) } d x

= 1 4 ( x 2 + 5 x 4 ) d x

= 1 3 x 3 + 5 2 x 2 4x 1 4

= 1 3 4 3 + 5 2 4 2 44 1 3 1 3 + 5 2 1 2 41

= 64 3 +4016+ 1 3 + 5 2 1

=21+23+ 5 2

= 9 2

x G を求める

x G = 1 S 1 4 x f ( x ) d x

= 2 9 1 4 x { x ( x 2 4 x + 4 ) } d x

= 2 9 1 4 x ( x 2 + 5 x 4 ) d x

= 2 9 1 4 ( x 3 + 5 x 3 4 x ) d x

= 2 9 1 4 x 4 + 5 3 x 3 2 x 2 1 4

= 2 9 1 4 4 4 + 5 3 4 3 2 4 2 1 4 1 4 + 5 3 1 3 2 1 2

= 2 9 64+ 320 3 32 1 4 + 5 3 2

= 2 9 94+105+ 1 4

= 2 9 45 4

= 5 2

y G を求める

まず, g y を求める.yの範囲によって g y が異なることに注意する.

y= x 2 4x+4 より

y= x2 2

± y =x2

x=2± y

となる.

0y<1 のとき

g y =2+ y 2 y =2 y

1y<4 のとき

g y =2+ y y

よって

y G = 1 S 0 4 yg y dy = 1 9 2 0 1 y2 y dy + 1 4 y 2+ y y dy  ・・・・・・(5)

となる.積分は個別に計算することにする.

0 1 y · 2 y d y = 2 0 1 y 3 2 d y = 2 [ 2 5 y 5 2 ] 0 1 = 2 { 2 5 ( 1 5 2 0 5 2 ) } = 2 ( 2 5 · 1 ) = 2 · 2 5 = 4 5  ・・・・・・(6)

1 4 y 2+ y y dy

= 1 4 2y+ y 3 2 y 2 dy

= y 2 + 2 5 y 5 2 1 3 y 3 1 4

= 4 2 + 2 5 4 5 2 1 3 4 3 1 2 + 2 5 1 5 2 1 3 1 3

=16+ 64 5 1 3 64 1+ 2 5 1 3

=15+ 62 5 63 3

=6+ 62 5

= 32 5  ・・・・・・(7)

(6),(7)を(5)に代入する

y G = 2 9 4 5 + 32 5 = 2 9 · 36 5 = 8 5

よって,図形の重心 G の位置は

( x G , y G ) = ( 5 2 , 8 5 )

となる.

 

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>> y= x y= x 2 4 x + 4 で囲まれた図形の重心

学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年11月24日

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