部分積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

log( x+1 )dx  

■答

( x+1 )log( x+1 )x+C    Cは積分定数)

■ヒント

部分積分法

f ( x )g( x )dx =f( x )g( x ) f( x ) g ( x )dx  

を用いる.

■解説

x =1  より

f( x )=x g( x )=log( x+1 )

として部分積分を行う.

log( x+1 )dx  

= x log( x+1 )dx  ( この式は公式の左辺の f ( x )g( x )dxに対応する)

=xlog( x+1 ) x { log( x+1 ) } dx  

(この式は公式の右辺の f( x )g( x ) f( x ) g ( x )dx に対応する) 

=xlog( x+1 ) x 1 x+1 dx  

=xlog( x+1 ) ( 1 1 x+1 )dx  

(∵ x x+1 =1 1 x+1  )

=xlog( x+1 ){ dx 1 x+1 dx }  

=xlog( x+1 ){ xlog( x+1 ) }  

=xlog( x+1 )x+log( x+1 )+C  

xlog( x+1 )  と  log( x+1 )  をまとめる )

=( x+1 )log( x+1 )x+C   

■別解

f( x )=x の代わりに  f( x )=x+1 としてもよい.

( x+1 ) =1 より

f( x )=x+1 g( x )=log( x+1 )

として部分積分を行う.

log( x+1 )dx  

= ( x+1 ) log( x+1 )dx  (この式は公式の左辺の f ( x )g( x )dxに対応する)

=( x+1 )log( x+1 ) ( x+1 ) { log( x+1 ) } dx  

(この式は公式の右辺の f( x )g( x ) f( x ) g ( x )dx に対応する)

=( x+1 )log( x+1 ) ( x+1 ) 1 x+1 dx  

=( x+1 )log( x+1 ) dx  

=( x+1 )log( x+1 )x+C  

よってこの問題では, f( x )=x として部分積分を行っても,あるいは, f( x )=x+1 として部分積分を行っても,いずれも計算することができる.

 

■確認問題

求まった答え ( x+1 )log( x+1 )x+C を微分し,積分前の式 log( x+1 ) に戻ることを確認しなさい.

 

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最終更新日: 2023年11月23日