不定積分の問題

逆関数の不定積分

■問題

次の不定積分を計算せよ.

tan 1 x dx

■答

  x tan 1 x 1 2 log(1+ x 2 )+C (Cは不定積分)

■ヒント

部分積分法 を利用して解く.

今回の問題は, f ( x ) g ( x ) の関係を逆にした表現 の[不定積分]を利用する.

■解説

tan 1 xdx

= 1 tan 1 xdx

= (x ) tan 1 xdx

=x tan 1 x x 1 1+ x 2 dx

(復習:アークタンジェントの微分

ここで

x 1 1+ x 2 dx     ・・・・・(1)

置換積分で, 1+ x 2 =t とおく.・・・・・(2)

両辺を x で微分すると,

2x= dt dx

xdx= 1 2 dt となる.・・・・・・(3)

(1)に(2)(3)を代入して,

与式 = 1 2t dt

= 1 2 1 t dt

= 1 2 log| t |+C

= 1 2 log( 1+ x 2 )+C

よって

=x tan 1 x 1 2 log(1+ x 2 )+C (Cは不定積分)

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最終更新日: 2023年11月14日