不定積分の問題

置換積分

■問題

次の計算をせよ(不定積分).

tan 3 x sec 2 x dx


■答

1 4 tan 4 x+C C は積分定数)


■ヒント

tanx=t とおき, t の式に変換して求める.


■解説

tan 3 x sec 2 x dx    ・・・・・・(1)

tanx=t とおく.(置換積分法

両辺を x で微分すると,

1 cos 2 x = dt dx

1 cos 2 x dx=dt

1 cosx =secx より, ( secx cosx の逆数である.読みは「セカント」.)

sec 2 xdx=dt

dx= 1 sec 2 x dt

tanx=t dx= 1 sec 2 x dt を(1)の式に代入すると,

t 3 dt = 1 4 t 4 +C

置換していた t を元に戻して,

1 4 tan 4 x+C C は積分定数)

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最終更新日:2023年11月14日