問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

対数不等式の問題

■問題

次の対数不等式を解け．

${\displaystyle {log}_2(x+2)+{log}_{2}x<3}$

■答

${\displaystyle 0<x<2}$

■計算

${\displaystyle {log}_2(x+2)+{log}_{2}x}$${\displaystyle <3}$

${\displaystyle {log}_{2}x(x+2)}$${\displaystyle <3}$

${\displaystyle {log}_{2}x(x+2)}$${\displaystyle <3{log}_{2}2}$

${\displaystyle {log}_{2}x(x+2)}$${\displaystyle <{log}_2{2}^3}$

${\displaystyle {log}_{2}x(x+2)}$${\displaystyle <{log}_{2}8}$

対数の底の数が${\displaystyle 2>1}$ より

${\displaystyle x(x+2)}$${\displaystyle <8}$

${\displaystyle x^2+2x-8}$${\displaystyle <0}$

${\displaystyle (x+4)(x-2)}$${\displaystyle <0}$

${\displaystyle -4<x<2}$

真数条件が${\displaystyle x>0}$ より

${\displaystyle 0<x<2}$

■解説

最初に，真数条件より

${\displaystyle x+2>0}$ ， ${\displaystyle x>0}$

すなわち

${\displaystyle x>-2}$， ${\displaystyle x>0}$

よって

${\displaystyle x>0}$

次に真数同士の比較ができるように、与式を変形する．

最初に与式の左辺を変形し，ひとつの対数にまとめる．

公式 ${\displaystyle {log}_{a}S+{log}_{a}R={log}_{a}SR}$ を用いて

${\displaystyle {log}_2(x+2)+{log}_{2}x={log}_{2}x(x+2)}$

次に右辺の数値を左辺と同じ底の対数に変換する．

公式${\displaystyle 1={log}_{a}a}$ を用いて

${\displaystyle 3=3·1=3{\log }_{2}2}$

さらに公式${\displaystyle t{log}_{a}R={log}_a{R}^t}$を用いて

${\displaystyle 3{log}_{2}2}$${\displaystyle ={log}_2{2}^3}$${\displaystyle ={log}_{2}8}$

これにより与式は以下のように変形できた．

与式)  ${\displaystyle {log}_2(x+2)+{log}_{2}x}$${\displaystyle <3}$

⇒ ${\displaystyle {log}_{2}x(x+2)}$${\displaystyle <{log}_{2}8}$

両辺が底の値が2の対数で表されたので，真数同士を比較する．

いま底の値２は${\displaystyle 2>1}$，すなわちグラフは単調増加であるので，真数同士を比較したときの大小関係は対数の大小関係と一致する．

ゆえに

${\displaystyle x(x+2)}$${\displaystyle <8}$

${\displaystyle x^2+2x-8}$${\displaystyle <0}$

${\displaystyle (x+4)(x-2)}$${\displaystyle <0}$

すなわち求める範囲は

${\displaystyle -4<x<2}$

ただし，真数条件 ${\displaystyle x>0}$ より求める答えは

${\displaystyle 0<x<2}$

となる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日

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