問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

部分分数の分解

■問題

次の分数を部分分数に分解しなさい．

${\displaystyle \frac{5x+1}{x^2-x-12}}$

■答

${\displaystyle \frac{2}{x+3}+\frac{3}{x-4}}$

■解き方

分母を因数分解すると

${\displaystyle \frac{5x+1}{x^2-x-12}=\frac{5x+1}{\left(x+3\right)\left(x-4\right)}}$

となる．次に，

${\displaystyle \frac{5x+9}{\left(x+3\right)\left(x-4\right)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-4}}$

とおく．

${\displaystyle \frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-4}}$	${\displaystyle =\frac{A\left(x-4\right)+B\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-4\right)}}$
	${\displaystyle =\frac{\left(A+B\right)x-4A+3B}{\left(x+3\right)\left(x-4\right)}}$

よって

${\displaystyle \{\begin{array}{c}A+B=5\\ -4A+3B=1\end{array}}$

の関係が成り立てばよい．

${\displaystyle B=5-A}$

${\displaystyle -4A+3\left(5-A\right)=1}$

${\displaystyle -7A=-14}$

${\displaystyle A=2}$

${\displaystyle B=3}$

以上より

${\displaystyle \frac{5x+9}{x^2-x-12}=\frac{2}{x+3}+\frac{3}{x-4}}$

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年6月27日

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