部分分数の分解

■問題

次の分数を部分分数に分解しなさい．

${\displaystyle \frac{5x+2}{{\left(x-2\right)}^2}}$

■答

${\displaystyle \frac{12}{{\left(x-2\right)}^2}+\frac{5}{\left(x-2\right)}}$

■解き方

${\displaystyle \frac{5x+2}{{\left(x-2\right)}^2}=\frac{A}{{\left(x-2\right)}^2}+\frac{B}{x-2}}$

とおく．

${\displaystyle \frac{A}{{\left(x-2\right)}^2}+\frac{B}{x-2}}$	${\displaystyle =\frac{A+B\left(x-2\right)}{{\left(x-2\right)}^2}}$
	${\displaystyle =\frac{Bx+\left(A-2B\right)}{{\left(x-2\right)}^2}}$

よって

${\displaystyle \{\begin{array}{c}B=5\\ A-2B=2\end{array}}$

の関係が成り立てばよい．

${\displaystyle A}$	${\displaystyle =2+2B}$
	${\displaystyle =2+2·5}$
	${\displaystyle =2+10}$
	${\displaystyle =12}$

以上より

${\displaystyle \frac{5x+2}{{\left(x-2\right)}^2}=\frac{12}{{\left(x-2\right)}^2}+\frac{5}{\left(x-2\right)}}$

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年6月27日