問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

一般項の推測

■問題

次の数列の一般項${\displaystyle a_n}$ を推測せよ．

${\displaystyle \frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{5}{6},\frac{7}{8},\frac{9}{10},\cdot \cdot \cdot }$

■答

${\displaystyle a_n=\frac{2n-1}{2n}}$

■ヒント

分母と分子に分けて考えると等差数列となることを利用し，等差数列の一般項の公式より

$a_n=a_1+\left(n-1\right)d$

を用いる．

■解き方

与えられた数列の一般項${\displaystyle a_n}$を分子の一般項を${\displaystyle a_{1n}}$ ，分母の一般項を${\displaystyle a_{2n}}$とおいて

${\displaystyle a_n=\frac{a_{1n}}{a_{2n}}}$

と表し，分母と分子に分けて考えると

分子は，初項 ${\displaystyle 1}$ で各項に${\displaystyle 2}$ を加えた数字がその次の項になっている．

よって，初項${\displaystyle a_1=1}$ ，公差${\displaystyle d=2}$ であるから，その一般項${\displaystyle a_{1n}}$ は等差数列の一般項の公式

${\displaystyle a_n=a_1+\left(n-1\right)d}$

より

${\displaystyle a_{1n}}$${\displaystyle =1+\left(n-1\right)2}$${\displaystyle =1+2n-2}$${\displaystyle =2n-1}$

次に，分母は，初項 ${\displaystyle 2}$ で各項に${\displaystyle 2}$ を加えた数字がその次の項になっている．

よって，初項${\displaystyle a_1=2}$ ，公差${\displaystyle d=2}$ であるから，その一般項${\displaystyle a_{2n}}$は等差数列の一般項の公式

${\displaystyle a_n=a_1+\left(n-1\right)d}$

より

${\displaystyle a_{2n}}$${\displaystyle =2+\left(n-1\right)2}$${\displaystyle =2+2n-2}$${\displaystyle =2n}$

以上より，数列全体の一般項${\displaystyle a_n}$ は

${\displaystyle a_n=\frac{a_{1n}}{a_{2n}}=\frac{2n-1}{2n}}$

となる．

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年12月12日

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