問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

数列の極限

■問題

数列

${\displaystyle \frac{1-1}{3+1-1},\frac{1-2^3}{24+2^2-1},\frac{1-3^3}{81+3^2-1},\cdot \cdot \cdot ,\frac{1-n^3}{3n^3+n^2-1},\cdot \cdot \cdot }$

すなわち，第 ${\displaystyle n}$ 項が

${\displaystyle a_n=\frac{1-n^3}{3n^3+n^2-1}}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{1-n^3}{3n^3+n^2-1}}$

を求めよ．

■答

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{1-n^3}{3n^3+n^2-1}=-\frac{1}{3}}$

■ヒント

${\displaystyle n}$ にそのまま ${\displaystyle \infty }$ を代入すると， ${\displaystyle \frac{-\infty }{\infty }}$ の形になってしまい極限が分からない．

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0}$ ，${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}=0}$，${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^3}=0}$ を利用する．

したがって，分母の変数の中で最も次数の高いもので割る．

最後に，式全体で収束・発散を判断する．

■解き方

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}\frac{1-n^3}{3n^3+n^2-1}}$

分母，分子を${\displaystyle n^3}$ で割る．

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\frac{\frac{1}{n^3}-1}{3+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^3}}}$

${\displaystyle n\to \infty }$ の時， ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ と${\displaystyle \frac{1}{n^3}}$ は ${\displaystyle 0}$ になる．

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\frac{-1}{3}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{3}}$

すなわち，与式は ${\displaystyle -\frac{1}{3}}$ に収束する．

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年12月15日

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