数列の極限

■問題

数列

$\frac{1}{1^{2} - 1}, \frac{1}{2^{2} - 1}, \frac{1}{3^{2} - 1}, \dots \frac{1}{n^{2} - 1}$ $, \dots$

すなわち第 $n$ 項

$a_{n} = \frac{1}{n^{2} - 1}$

となる数列の極限値

$lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2} - 1}$

を求めよ．

$lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2} - 1} = 0$

$n$ が $\infty$ になったときに，分母，分子がそれぞれどのような値になるのかを調べる．

最後に，式全体で収束・発散を判断する．

$\frac{1}{n^{2} - 1}$ は，分子は一定 $(= 1)$ で， $n$ が大きくなると分母 $n^{2} - 1$ は大きくなることより

$n \to \infty$ ならば， $\frac{1}{n^{2} - 1}$ は $0$ に収束する

よって

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2} - 1} = 0$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年12月15日