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応用分野: ラプラス変換
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三角関数のラプラス変換

L{ sinωt }= ω s 2 + ω 2

L{ cosωt }= s s 2 + ω 2

■証明:正弦関数

ラプラス変換の定義より

L{ sinωt }= 0 e st sinωtdt

= 0 ( 1 s e s t ) ' sin ω t d t

部分積分法を用いて

= [ 1 s e s t sin ω t ] 0 0 1 s e st sinωt ' dt

= 1 s 0 e s t ( ω cos ω t ) d t

= 1 s 0 ( 1 s e s t ) ' ω cos ω t d t

もう一度,部分積分法を用いて

= 1 s { [ 1 s e s t ω cos ω t ] 0 0 1 s e st ωcosωt dt

= 1 s { [ 1 s e s t ω cos ω t ] 0 0 1 s e s t ω 2 sin ω t d t }

= 1 s ( ω s ω 2 s 0 e s t sin ω t d t )

ここで

L{ sinωt }= 0 e st sinωtdt

であることより

L{ sinωt } = 1 s ( ω s ω 2 s L{ sinωt } )

L{ sinωt } = ω s 2 ω 2 s 2 L{ sinωt }

この方程式を L{ sinωt } について解くと

L{ sinωt }( 1+ ω 2 s 2 ) = ω s 2

L{ sinωt }= ω s 2 (1+ ω 2 s 2 )

= ω s 2 + ω 2

 

■証明:余弦関数

ラプラス変換の定義より

L{ cosωt } = 0 e st cosωtdt

= 0 ( 1 s e st ) ' cosωtdt

部分積分法を用いて

= [ 1 s e st cosωt ] 0 0 ( 1 s e st ) ( cosωt ) ' dt

= [ 1 s e st cosωt ] 0 0 ( 1 s e st ) ( ωsinωt )dt

= 1 s ω s 0 e st sinωtdt

= 1 s ω s 0 ( 1 s e st ) ' sinωtdt

もう一度,部分積分法を用いて

= 1 s ω s { [ 1 s e st sinωt ] 0 0 ( 1 s e st ) ( sinωt ) dt }

= 1 s ω s { [ 1 s e st sinωt ] 0 + 0 1 s e st ωcosωtdt }

= 1 s ω 2 s 2 0 e st cosωtdt

ここで

L{ cosωt }= 0 e st cosωtdt

であことより

L{ cosωt } = 1 s ω 2 s 2 L{ cosωt }

この方程式を L{ cosωt } について解くと

L{ cosωt }( 1+ ω 2 s 2 ) = 1 s

L{ cosωt } = 1 s( 1+ ω 2 s 2 )

= s s 2 + ω 2

 

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 最終更新日: 2023年6月6日

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