数学知識構造の全体を見るにはこのグラフ図を, 関連するページを見るにはこのグラフ図を利用してください.
応用分野: ラプラス変換

三角関数のラプラス変換


{ sinωt }= ω s 2 + ω 2

{ cosωt }= s s 2 + ω 2

■証明:正弦関数


{ sin ω t }

= 0 e s t sin ω t d t
 
= 0 ( 1 s e s t ) ' sin ω t d t
 
= [ 1 s e s t sin ω t ] 0 0 ( 1 s e s t ) ( sin ω t ) ' d t
 
= 1 s 0 e s t ( ω cos ω t ) d t
 
= 1 s 0 ( 1 s e s t ) ' ω cos ω t d t
 
= 1 s { [ 1 s e s t ω cos ω t ] 0 + 0 ( 1 s e s t ) ( ω cos ω t ) ' d t }
 
= 1 s { [ 1 s e s t ω cos ω t ] 0 0 1 s e s t ω 2 sin ω t d t }
 
= 1 s ( ω s ω 2 s 0 e s t sin ω t d t )

ここで,

{ sinωt }= 0 e st sinωtdt

であるから,


{ sinωt }

= 1 s ( ω s ω 2 s { sinωt } )  

{ sinωt }

= ω s 2 ω 2 s 2 { sinωt }

この方程式を { sinωt } について解くと,


{ sinωt }( 1+ ω 2 s 2 )

= ω s 2
{ sinωt }
= ω s 2 ( 1+ ω 2 s 2 )
 
= ω s 2 + ω 2



■証明:余弦関数


{ cosωt }  

= 0 e st cosωtdt
 
= 0 ( 1 s e st ) ' cosωtdt  
 
= [ 1 s e st cosωt ] 0 0 ( 1 s e st ) ( cosωt ) ' dt  
 
= [ 1 s e st cosωt ] 0 0 ( 1 s e st ) ( ωsinωt )dt  
 
= 1 s ω s 0 e st sinωtdt  
 
= 1 s ω s 0 ( 1 s e st ) ' sinωtdt  
 
= 1 s ω s { [ 1 s e st sinωt ] 0 0 ( 1 s e st ) ( sinωt ) ' dt }  
 
= 1 s ω s { [ 1 s e st sinωt ] 0 + 0 1 s e st ωcosωtdt }  
 
= 1 s ω 2 s 2 0 e st cosωtdt  

ここで,

{ cosωt }= 0 e st cosωtdt

であるから,


{ cosωt }

= 1 s ω 2 s 2 { cosωt }  

この方程式を { cosωt } について解くと,


{ cosωt }( 1+ ω 2 s 2 )

= 1 s
{ cosωt }
= 1 s( 1+ ω 2 s 2 )
 
= s s 2 + ω 2




ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>ラプラス変換>>三角関数のラプラス変換

学生スタッフ作成

 初版:2009年3月5日,最終更新日: 2010年2月24日

[ページトップ]

金沢工業大学

利用規約

google translate (English version)