関連するページを見るにはこのグラフ図を利用してください.
応用分野: 逆演算子の公式逆演算子の公式の導出 {1/(D^2+a^2)}cosax その2逆演算子の公式の導出 {1/(D^2+a^2)}cosax その3

逆演算子の公式の導出 {1/(D^2+a^2)}cosax その1

1 D 2 + a 2 cosax= 1 2a xsinax

■導出その1

Y = 1 D 2 + a 2 e i a x  ・・・・・・(1)

とおく. D 2 + a 2 = ( D i a ) ( D + i a )  と因数分解できるので,

Y = 1 ( D i a ) ( D + i a ) e i a x  

= 1 D i a 1 D + i a e i a x  

= 1 D i a [ 1 D + i a e i a x ]  

逆演算子の公式

1 f ( D ) e a x = 1 f ( a ) e a x  詳細

を利用すると

Y = 1 D i a 1 i a + i a e i a x  

= 1 2 i a 1 D i a e i a x  

逆演算子の公式

1 D a F ( x ) = e a x e a x F ( x ) d x  詳細

を利用すると

Y = 1 2 i a e i a x e i a x e i a x d x  

= 1 2 i a e i a x d x  

= 1 2 i a x e i a x  ・・・・・・(2) 

ここでオイラーの公式

e i x = cos x + i sin x  

を利用すると,(2)式は次のように変形できる.

Y = 1 2 i a x ( cos a x + i sin a x )  

= 1 2 a i x ( cos a x + i sin a x )  

= 1 2 a x sin a x i 1 2 a x cos a x  

また(1)式はオイラーの公式より

Y = 1 D 2 + a 2 ( cos a x + i sin a x )  

なので

1 D 2 + a 2 cosax+i 1 D 2 + a 2 sinax = 1 2a xsinaxi 1 2a xcosax  

となる.

よって,実部に注目すると,

1 D 2 + a 2 cosax= 1 2a xsinax  

 

導出その2はこちら

導出その3はこちら

 

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分方程式>>逆演算子の公式>>逆演算子の公式の導出 {1/(D^2+a^2)}cosax その1

学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年6月9日

[ページトップ]

金沢工業大学

利用規約

google translate (English version)