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応用分野: 逆演算子の公式の導出 {1/(D^2+a^2)}cosax その1逆演算子の公式の導出 {1/(D^2+a^2)}cosax その2

逆演算子の公式の導出 {1/(D^2+a^2)}cosax その3

1 D 2 + a 2 cosax= 1 2a xsinax

■導出その3

D 2 + a 2 =( D+ia )( Dia )  と因数分解できるので

1 ( D+ia )( Dia ) cosax  

= 1 D+ia { 1 Dia cosax }  

逆演算子の公式より 

= 1 D+ia e iax e iax cosaxdx  

⇒積分のやり方はこちら 

= 1 D+ia e iax ( i 4a e i2ax + 1 2 x )  

= 1 D+ia ( i 4a e iax + 1 2 x e iax )  

= i 4a ( 1 D+ia e iax )+ 1 2 ( 1 D+ia x e iax )  

= i 4a e iax 1 D e iax e iax + 1 2 e iax 1 D e iax x e iax  

= i 4a e iax 1 D 1+ 1 2 e iax 1 D x e 2iax  

⇒積分のやり方はこちら 

= i 4a e iax x+ 1 2 e iax x e 2iax dx  

= i 4a e iax x+ 1 2 e iax ( i 2a e i2ax x+ 1 4 a 2 e i2ax )  

= i 4a e iax x i 4a e iax x+ 1 8 a 2 e iax  

= i 4a x( e iax e iax )+ 1 8 a 2 e iax  

オイラーの公式より 

= i 4a x( cosaxisinaxcosaxisinax )+ 1 8 a 2 e iax  

= 1 2a xsinax+ 1 8 a 2 e iax  

1 8 a 2 e iax  は線形同時微分方程式 D 2 + a 2 y=0 の一般解に含まれるため省略すると

1 D 2 + a 2 cosax= 1 2a xsinax  

となる.

 

導出その1はこちら

導出その2はこちら

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年6月9日

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