完全微分方程式

${\displaystyle P\left(x,y\right)dx+Q\left(x,y\right)dy=0}$  　　　(${\displaystyle u_x=\frac{\partial u}{\partial x}=P\left(x,y\right)}$，${\displaystyle u_y=\frac{\partial u}{\partial y}=Q\left(x,y\right)}$ )

を完全微分方程式という．

■完全微分方程式の解

完全微分方程式 ${\displaystyle P\left(x,y\right)dx+Q\left(x,y\right)dy=0}$ の一般解は

${\displaystyle u\left(x,y\right)=c}$

である．

ただし，${\displaystyle du=P\left(x,y\right)dx+Q\left(x,y\right)dy}$  である．

■完全微分方程式であるための必要十分条件

${\displaystyle P\left(x,y\right)dx+Q\left(x,y\right)dy=0}$  が完全微分方程式であるための必要十分条件は

${\displaystyle \frac{\partial P\left(x,y\right)}{\partial y}=\frac{\partial Q\left(x,y\right)}{\partial x}}$

である．⇒証明

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学生スタッフ作成
　初版：2009年1月19日，最終更新日： 2009年9月16日