微分形式

関数 ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$において，変数x  の微小の増分${\displaystyle \Delta x}$ に対して，$f^{\prime }\left(x\right)\Delta x$ をy の微分といい，${\displaystyle dy}$  で表す．

${\displaystyle dy=f^{\prime }\left(x\right)\Delta x}$  ･･････(1)

変数x  の微小の増分${\displaystyle \Delta x}$ ， 変数x  の微小の増分${\displaystyle \Delta x}$ に対応するy  の微小の増分${\displaystyle \Delta y}$ ， x の微分${\displaystyle dx}$  ， y の微分${\displaystyle dy}$  の関係を右図に示す．

${\displaystyle \Delta x}$ の値が小さくなるにしたがって，${\displaystyle \frac{dy}{\Delta y}}$  の値は1に近づく． すなわち，${\displaystyle \Delta y}$ と${\displaystyle dy}$  が等しくなる．

• ${\displaystyle \underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{dy}{\Delta y}=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }\left(x\right)\Delta x}{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}}$
• ${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}}=\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f^{\prime }\left(x\right)}=1}$

また，重要な関係式として，

${\displaystyle dy=\frac{dy}{dx}dx}$  ･･････(2)

がある．

 

■x の微分${\displaystyle dx}$  について

xは独立変数なのでx をそのまま対応させる関数${\displaystyle y=x}$ とすることによりx の微分${\displaystyle dx}$  について考えてみる．

${\displaystyle y=x}$ という関数においては，${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=1}$ となるので(1)より，

${\displaystyle dy=\Delta x}$  ･･････(3)

となる．さらに${\displaystyle y=x}$  より${\displaystyle dy=dx}$ となるので(3)は，

${\displaystyle dx=\Delta x}$  ･･････(4)

となる．すなわち，

変数 x  の微分${\displaystyle dx}$  は変数x  の微小の増分${\displaystyle \Delta x}$ のことである．

(1)，(4)より，

${\displaystyle dy=f^{\prime }\left(x\right)dx}$  ･･････(5)

となる．また， ${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=\frac{dy}{dx}}$  より，

${\displaystyle dy=\frac{dy}{dx}dx}$  ･･････(2)

となる．

また，${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ なので(5)より，

${\displaystyle df\left(x\right)=f^{\prime }\left(x\right)dx}$ ･･････(6)

と表すことができる．

ここで示した，${\displaystyle dx}$，${\displaystyle dy}$ ，${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)dx}$ ，${\displaystyle df\left(x\right)}$ を微分形式という．

 

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最終更新日： 2018年4月2日