2変数関数のテイラー（Taylor）の定理の導出

(1)式

$\int_{a}^{a + h} \frac{\partial}{\partial x} f_{y} (x, b) d x$

$= \int_{a}^{a + h} 1 \cdot f_{y x} (x, b) d x$

$= \int_{a}^{a + h} - {(a + h - x)}^{'} \cdot f_{y x} (x, b) d x$

$= {[- (a + h - x) f_{y x} (x, b)]}_{a}^{a + h}$ $- \int_{a}^{a + h} - (a + h - x) \frac{\partial}{\partial x} f_{y x} (x, b) d x$

$= h f_{y x} (a, b)$ $+ \int_{a}^{a + h} (a + h - x) f_{y x x} (x, b) d x$

$= h f_{y x} (a, b)$ $+ \int_{a}^{a + h} {- \frac{1}{2} {(a + h - x)}^{2}}^{'} f_{y x x} (x, b) d x$

$= h f_{y x} (a, b)$ $+ {[- \frac{1}{2} {(a + h - x)}^{2} f_{y x x} (x, b)]}_{a}^{a + h}$ $- \int_{a}^{a + h} {- \frac{1}{2} {(a + h - x)}^{2}} \frac{\partial}{\partial x} f_{y x x} (x, b) d x$

$= h f_{y x} (a, b) + \frac{1}{2} h^{2} f_{y x x} (a, b)$ $+ \int_{a}^{a + h} {\frac{1}{2} {(a + h - x)}^{2}} f_{y x x x} (x, b) d x$

積分を繰り返すと

$= h f_{y x} (a, b) + \frac{1}{2} h^{2} f_{y x x} (a, b)$ $+ \dots$ $+ \frac{1}{(n - 1)!} h^{n - 1} {(\frac{\partial}{\partial x})}^{n - 1} \frac{\partial}{\partial y} f (a, b)$

+ \int_{a}^{a + h} {- \frac{1}{n!} {(a + h - x)}^{n}}^{'} {(\frac{\partial}{\partial x})}^{n} \frac{\partial}{\partial y} f (x, b) d x

(2)式

$\int_{a}^{a + h} \frac{\partial}{\partial x} f_{y y} (x, b) d x$

$= \int_{a}^{a + h} 1 \cdot f_{y y x} (x, b) d x$

$= \int_{a}^{a + h} - {(a + h - x)}^{'} \cdot f_{y y x} (x, b) d x$

部分積分法を用いると

$= {[- (a + h - x) f_{y y x} (x, b)]}_{a}^{a + h}$ $- \int_{a}^{a + h} - (a + h - x) \frac{\partial}{\partial x} f_{y y x} (x, b) d x$

$= h f_{y y x} (a, b) + \int_{a}^{a + h} (a + h - x) f_{y y x x} (x, b) d x$

$= h f_{y y x} (a, b)$ $+ \int_{a}^{a + h} {- \frac{1}{2} {(a + h - x)}^{2}}^{'} f_{y y x x} (x, b) d x$

$= h f_{y y x} (a, b)$ $+ {[- \frac{1}{2} {(a + h - x)}^{2} f_{y y x x} (x, b)]}_{a}^{a + h}$ $- \int_{a}^{a + h} {- \frac{1}{2} {(a + h - x)}^{2}} \frac{\partial}{\partial x} f_{y y x x} (x, b) d x$

$= h f_{y y x} (a, b) + \frac{1}{2} h^{2} f_{y y x x} (a, b)$ $+ \int_{a}^{a + h} {\frac{1}{2} {(a + h - x)}^{2}} f_{y y x x x} (x, b) d x$

(1)式と同様に，積分を繰り返すと

$= h f_{y y x} (a, b) + \frac{1}{2} h^{2} f_{y y x x} (a, b)$ $+ \dots$ $+ \frac{1}{(n - 2)!} h^{n - 2} {(\frac{\partial}{\partial x})}^{n - 2} {(\frac{\partial}{\partial y})}^{2} f (a, b)$

+ \int_{a}^{a + h} {- \frac{1}{(n - 1)!} {(a + h - x)}^{n - 1}}^{'} {(\frac{\partial}{\partial x})}^{n - 1} {(\frac{\partial}{\partial y})}^{2} f (x, b) d x

(3)式

$\int_{a}^{a + h} \frac{\partial}{\partial x} f_{y y y} (x, b) d x$

$= \int_{a}^{a + h} 1 \cdot f_{y y y x} (x, b) d x$

$= \int_{a}^{a + h} - {(a + h - x)}^{'} f_{y y y x} (x, b) d x$

$= {[- (a + h - x) f_{y y y x} (x, b)]}_{a}^{a + h}$ $- \int_{a}^{a + h} - (a + h - x) \frac{\partial}{\partial x} f_{y y y x} (x, b) d x$

$= h f_{y y y x} (a, b)$ $+ \int_{a}^{a + h} {- \frac{1}{2} {(a + h - x)}^{2}}^{'} f_{y y y x x} (x, b) d x$

$= h f_{y y y x} (a, b)$ $+ {[- \frac{1}{2} {(a + h - x)}^{2} f_{y y y x x} (x, b)]}_{a}^{a + h}$ $- \int_{a}^{a + h} {- \frac{1}{2} {(a + h - x)}^{2}} \frac{\partial}{\partial x} f_{y y y x x} (x, b) d x$

$= h f_{y y y x} (a, b) + \frac{1}{2} h^{2} f_{y y y x x} (a, b)$ $+ \int_{a}^{a + h} {\frac{1}{2} {(a + h - x)}^{2}} f_{y y y x x x} (x, b) d x$

積分を繰り返すと

$= h f_{y y y x} (a, b) + \frac{1}{2} h^{2} f_{y y y x x} (a, b)$ $+ \dots$ $+ \frac{1}{(n - 3)!} h^{n - 3} {(\frac{\partial}{\partial x})}^{n - 3} {(\frac{\partial}{\partial y})}^{3} f (a, b)$

+ \int_{a}^{a + h} {- \frac{1}{(n - 2)!} {(a + h - x)}^{n - 2}}^{'} {(\frac{\partial}{\partial x})}^{n - 2} {(\frac{\partial}{\partial y})}^{3} f (x, b) d x

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最終更新日： 2023年1月21日