yによる関数ψの2階偏微分

y による関数 ψ の2階偏微分

関数 ψ y で偏微分する.

ψ y = ψ r r y + ψ θ θ y + ψ φ φ y

y に関しても x と同様に計算して

2 ψ y 2 = 2 ψ r 2 r y 2 + 2 ψ θ r θ y r y + ψ r 2 r y 2 + 2 ψ r θ r y θ y + 2 ψ θ 2 θ y 2 + ψ θ 2 θ y 2

+ 2 ψ r φ r y φ y + 2 ψ φ 2 φ y 2 + ψ φ 2 φ y 2  ・・・・・・(1)

が得られる.(4)の両辺を y で偏微分して

2 y = 2 r r y

y r = r y

r y = r sin θ sin φ r

r y = sin θ sin φ   ・・・・・・(2)

が得られる. y x =tanφ (このページの(3)式)の両辺を y で偏微分して

1 x = 1 cos 2 φ φ y

tan 2 φ + 1 φ y = 1 x

y 2 x 2 + 1 φ y = 1 x

y 2 + x 2 x 2 φ y = 1 x

r 2 z 2 x 2 φ y = 1 x

φ y = x r 2 z 2 = r sin θ cos φ r 2 r 2 cos 2 θ = r sin θ cos φ r 2 1 cos 2 θ = r sin θ cos φ r 2 sin 2 θ = cos φ r sin θ   ・・・・・・(3)

となる. x 2 + y 2 z =tanθ (このページの(2)式)の両辺を y で偏微分して

y x 2 + y 2 1 2 z = 1 cos 2 θ θ y

θ y = y cos 2 θ z x 2 + y 2

= r sin θ sin φ cos 2 θ r cos θ r 2 sin 2 θ cos 2 φ + r 2 sin 2 θ sin 2 φ

= r sin θ sin φ cos 2 θ r 2 cos θ sin θ cos 2 φ + sin 2 φ

= cos θ sin φ r   ・・・・・・(4)

が得られる.

2 r y 2 = y r y

(13)を代入して

= y sin θ sin φ

= r sin θ sin φ r y + θ sin θ sin φ θ y + φ sin θ sin φ φ y

= cos θ sin φ θ y + sin θ cos φ φ y

= cos θ sin φ cos θ sin φ r + sin θ cos φ cos φ r sin θ

= cos 2 θ sin 2 φ r + cos 2 φ r

= cos 2 θ sin 2 φ + cos 2 φ r   ・・・・・・(5)

2 θ y 2 = y θ y

(14)を代入して

= y cos θ cos φ r

= r cos θ sin φ r r y + θ cos θ sin φ r θ y + φ cos θ sin φ r φ y

= cos θ sin φ r 2 r y sin θ sin φ r θ y cos θ cos φ r φ y

(13)、(15)、(14)を代入して

= cos θ sin φ r 2 sin θ sin φ sin θ sin φ r cos θ sin φ r + cos θ cos φ r cos φ r sin θ

= sin θ cos θ sin 2 φ r 2 sin θ cos θ sin 2 φ r 2 + cos θ cos 2 φ r 2 sin θ

= 2sin θ cos θ sin 2 φ r 2 + cos θ cos 2 φ r 2 sin θ

= 2 sin 2 θ cos θ sin 2 φ + cos θ cos 2 φ r 2 sin θ

= cos θ 2 sin 2 θ sin 2 φ + cos 2 φ r 2 sin θ  ・・・・・・(6)

が得られる.

2 φ y 2 = y φ y

(3)を代入して

= y cos φ r sin θ

= r cos φ r sin θ r y + θ cos φ r sin θ θ y + φ cos φ r sin θ φ y

= cosφ r 2 sinθ r y cosθcosφ r sin 2 θ θ y sinφ rsinθ φ y

(2),(4),(3)を代入して

= cosφ r 2 sinθ sinθsinφ cosθcosφ r sin 2 θ cosθsinφ r sinφ rsinθ cosφ rsinθ

= sin 2 θsinφcosφ+ cos 2 θsinφcosφ+sinφcosφ r 2 sin 2 θ

= sinφcosφ sin 2 θ+ cos 2 θ +sinφcosφ r 2 sin 2 θ

= 2sinφcosφ r 2 sin 2 θ  ・・・・・・(7)

が得られる.ここで,(2)〜(7)を用いて(12)を式変形すると

2 ψ y 2 = 2 ψ r 2 sin θ sin φ 2 + 2 ψ θ r cos θ sin φ r sin θ sin φ + ψ r cos 2 θ sin 2 φ + cos 2 φ r

+ 2 ψ r θ sin θ sin φ cos θ sin φ r + 2 ψ θ 2 cos θ sin φ r 2 + ψ θ cos θ 2 sin 2 θ sin 2 φ + cos 2 φ r 2 sin θ

+ 2 ψ rφ sinθsinφ cosφ rsinθ + 2 ψ φ 2 cosφ rsinθ 2 + ψ φ 2sinφcosφ r 2 sin 2 θ

= 2 ψ r 2 sin 2 θ sin 2 φ + 2 ψ θ r sin θ cos θ sin 2 φ r + ψ r cos 2 θ sin 2 φ + cos 2 φ r

+ 2 ψ r θ sin θ cos θ sin 2 φ r + 2 ψ θ 2 cos 2 θ sin 2 φ r 2 + ψ θ cos θ 2 sin 2 θ sin 2 φ + cos 2 φ r 2 sin θ

+ 2 ψ rφ sinφcosφ r + 2 ψ φ 2 cos 2 φ r 2 sin 2 θ ψ φ 2sinφcosφ r 2 sin 2 θ

が得られる.

 

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最終更新日:2023年1月16日