zによる関数ψの2階偏微分

z による関数 ψ の2階偏微分

関数 ψ z 偏微分する.

ψ z = ψ r r z + ψ θ θ z + ψ φ φ z

z に関しても x と同様に計算して

2 ψ z 2 = 2 ψ r 2 r z 2 + 2 ψ θ r θ z r z + ψ r 2 r z 2 + 2 ψ r θ r z θ z + 2 ψ θ 2 θ z 2 + ψ θ 2 θ z 2 + 2 ψ r φ r z φ z + 2 ψ φ 2 φ z 2 + ψ φ 2 φ z 2  ・・・・・・(1)

が得られる.(4)の両辺を z で偏微分して

2 z = 2 r r z

z r = r z

r z = r cos θ r

r z = cos θ   ・・・・・・(2)

y x =tanφ (このページの(3)式) の両辺を z で偏微分して

0 = 1 cos 2 φ φ z

φ z = 0   ・・・・・・(3)

x 2 + y 2 z =tanθ (このページの(2)式) の両辺を z で偏微分して

x 2 + y 2 1 2 z 2 = 1 cos 2 θ θ z

θ z = cos 2 θ x 2 + y 2 z 2 = cos 2 θ r sin θ r 2 cos 2 θ = sin θ r   ・・・・・・(4)

が得られる

2 r z 2 = z r z

(2)を代入して

= z cos θ

= r cos θ r z + θ cos θ θ z + φ cos θ φ z

= sin θ θ z

(4)を代入して

= sin θ sin θ r

= sin 2 θ r   ・・・・・・(5)

が得られる.

2 θ z 2

(4)を代入して

= z θ z = z sin θ r

= r sin θ r r z + θ sin θ r θ z + φ sin θ r φ z

= sin θ r 2 r z cos θ r θ z

(2),(4)を代入して

= sin θ r 2 cos θ cos θ r sin θ r

= sin θ cos θ r 2 + sin θ cos θ r 2

= 2sin θ cos θ r 2   ・・・・・・(6)

が得られる.(3)より

2 φ z 2 = 0   ・・・・・・(26)

が得られる.ここで,(21)〜(26)を用いて(20)を式変形すると

2 ψ z 2 = 2 ψ r 2 cos θ 2 + 2 ψ θ r sin θ r cos θ + ψ r sin 2 θ r

+ 2 ψ r θ cos θ sin θ r + 2 ψ θ 2 sin θ r 2 + ψ θ 2 sin θ cos θ r 2

+ 0 + 0 + 0

= 2 ψ r 2 cos 2 θ 2 ψ θ r sin θ cos θ r + ψ r sin 2 θ r

2 ψ r θ sin θ cos θ r + 2 ψ θ 2 sin 2 θ r 2 + ψ θ 2 sin θ cos θ r 2

が得られる.

 

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最終更新日:2023年1月16日