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コーシーの平均値定理

2つの関数 f x , g x 閉区間 a,b 連続開区間 a,b 微分可能であり, g x が開区間 a,b g x 0 かつ g a g b であるならば,

f b f a g b g a = f c g c    a<c<b

を満たす c が少なくとも1つ存在する.

■証明

X=g x Y=f x とおく.

媒介変数 x で表される曲線 C

X=g x Y=f x axb

を考える.

g x が開区間 a,b a,b かつ g a g b であることより,開区間 a,b X=g x は単調増加あるいは単調減少する.よって, X Y に対応させる関数 Y=F X が存在する.すなわち,曲線 Y=F X の式は Y=F X と表すこともできる.

点Pの座標を g x ,f x ,点Qの座標を g x+Δx ,f x+Δy とする.

Δx0 のとき,点Pと点Qを通る直線は点Pを通る曲線 C の接線に限りなく近づく.

ΔX=g x+Δx g x ΔY=f x+Δx f x

とすると,点Pと点Qを通る直線の傾き m

m= F X = lim ΔX0 ΔY ΔX

= lim Δx0 f x+Δx f x g x+Δx g x

= lim Δx0 f x+Δx f x Δx g x+Δx g x Δx

= lim Δx0 f x+Δx f x Δx lim Δx0 g x+Δx g x Δx

関数 f x , g x が閉区間 a,b で連続,開区間 a,b で微分可能であることと, g x が開区間 a,b g x 0 より

= f x g x

となる.すなわち,

F X = f x g x X=g x  ・・・・・(1)

となる.

α=g a β=g b とおくと, f a =F α f b =F β となり

f b f a g b g a = F β F α βα  ・・・・・(2)

と書き換えることができる.

中間値の定理より,

F β F α βα = F γ となる γ α<γ<β が少なくとも1つ存在する.・・・・・(3)

X=g x より

γ=g c a<c<b  ・・・・・(4)

と表すことができる.

(1)と(4)より

F γ = f c g c  ・・・・・(5)

となる.(2),(3),(5)より

f b f a g b g a = f c g c    a<c<b

を満たす c が少なくとも1つ存在する.

【参考図書】
微分積分キャンパスゼミ 著者:高杉豊,馬場敬之 出版社:マセマ出版社
Calculus 7E 著者:James Stewart 出版社:Brooks/Cole Pub Co

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最終更新日: 2022年5月31日

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