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曲率

曲線の曲がり具合を示す量が曲率 κ である.曲線上の点Aからに沿って Δs 移動し点Bに達したとする.点Aでの移動方向と点Bでの移動方向の角度の変化量を Δθ とする.角度の変化は進行方向に対して左回り(反時計回り)に変化する場合を正とする.曲率 κ

κ= lim Δs0 Δθ Δs

と定義される.すなわち,曲率 κ は曲線上の点の移動距離に関する進行移動方向の変化率である.

曲線が y=f(x) で表される場合,曲線上の点 ( x A ,f( x A ) ) における曲率 κ

κ= f ( x A ) [ 1+ { f ( x A ) } 2 ] 3 2

となる.

導出

点Aでの移動方向を単位ベクトルで表したものを e A ,点Bでの移動距離を単位ベクトルで表したものを e B とし, x 軸と e A のなす角を θ A x 軸と e B のなす角を θ B とする.

Δθ= θ B θ A

tanΔθ=tan( θ B θ A )

正接関数の加法定理より

= tan θ B tan θ A 1+tan θ B tan θ A

tan θ A = f ( x A ),tan θ B = f ( x B ) より

= f ( x B ) f ( x A ) 1 + f ( x B ) f ( x A )

逆正接関数を用いると,

Δθ= tan 1 f ( x B ) f ( x A ) 1+ f ( x B ) f ( x A )

tan 1 x のマクローリン展開 tan 1 x=x 1 3 x 3 + 1 5 x 5 より

= f ( x B ) f ( x A ) 1+ f ( x B ) f ( x A ) 1 3 ( f ( x B ) f ( x A ) 1+ f ( x B ) f ( x A ) ) 3 + 1 5 ( f ( x B ) f ( x A ) 1+ f ( x B ) f ( x A ) ) 5

一方,積分の平均値の定理より

f( x C )= 1 x B x A x A x B f( x ) dx

1+ { f ( x C ) } 2 = 1 x B x A x A x B 1+ { f ( x ) } 2 dx

が成り立つ

よって

Δ s = x A x B 1 + { f ( x ) } 2 dx = 1 + { f ( x C ) } 2 ( x B x A )

Δs0 のとき x B x A となる。

よって曲率Kは,

K= lim Δs0 Δθ Δs

= lim x B x A 1 1+ { f ( x C ) } 2 ( x B x A ) { f ( x B ) f ( x A ) 1+ f ( x A ) f ( x B ) 1 3 ( f ( x B ) f ( x A ) 1+ f ( x A ) f ( x B ) ) 3 + 1 5 ( f ( x B ) f ( x A ) 1+ f ( x A ) f ( x B ) ) 5 }

= lim x B x A 1 1+ { f ( x C ) } 2 ( x B x A ) f ( x B ) f ( x A ) 1+ f ( x A ) f ( x B ) { 1 1 3 ( f ( x B ) f ( x A ) 1+ f ( x A ) f ( x B ) ) 2 + 1 5 ( f ( x B ) f ( x A ) 1+ f ( x A ) f ( x B ) ) 4 }

x B x A のとき x C x A また,導関数の定義より

lim x B x A f ( x B ) f ( x A ) 1+ f ( x A ) f ( x B ) =0

lim x B x A f ( x B ) f ( x A ) x B x A = f ( x A )

が成り立つ

よって

k= 1 1+ { f ( x A ) } 2 1 1+ f ( x A ) f ( x A ) f ( x A )

= f ( x A ) [ 1+ { f ( x A ) } 2 ] 3 2

 

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2018年12月25日

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