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応用分野: 偏微分の順序交換

平均値の定理

関数 f閉区間 [ a,b ] 連続開区間 ( a,b ) 微分可能ならば,

f( b )f( a ) ba = f ( c )     ( a<c<b )

となる cが少なくとも1つ存在する.

【別表現】

a<c<b  より

c=a+θh     ( h=ba  , 0<θ<1 )

と置き換えると,平均値の定理

関数 f が閉区間 [ a , b ] で連続,開区間 ( a , b ) で微分可能ならば,

f( b )f( a )= f ( a+θh )h  

となる θ が少なくとも1つ存在する

となる.

■証明

2点 a,f a b,f b を結ぶ線分をグラフとする関数 g x

g x =f a + f b f a ba xa axb

となる.

h x =f x g x

=f x f a f b f a ba xa  ・・・・・(1)

とおく.

  1. 仮定より,関数 h x は閉区間 a,b で連続,開区間 a,b で微分可能である.
  2. h a =f a f a f b f a ba aa =0

  3. h b =f b f a f b f a ba ba =0

h x はi,ii,iiiよりロルの定理の条件を満たしている.よって

h c =0 となるとなる c a<c<b が少なくとも1つ存在する.」 ・・・・・(2)

(1)より 

h x = f x f b f a ba  ・・・・・(3)

となり,(2)を(3)を使って書き換えると平均値の定理を得る.

【参考図書】
Calculus 7E 著者:James Stewart 出版社:Brooks/Cole Pub Co

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最終更新日: 2022年5月30日

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