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応用分野: 関数の増減

関数が増加する場合の微分係数の値

関数 f( x )  が増加している区間では,微分係数 f ( x )   は

f ( x )>0  

となる.

■証明

関数 f( x )  が増加している区間の任意の2つの数 x 1 x 2 において, x 1 < x 2  のとき

f( x 1 )<f( x 2 )  

であるので

x 2 x 1 >0  , f( x 2 )f( x 1 )>0

となる.

よって,x  の値が x 1 から x 2 に変化したときの平均変化率の値は

f( x 2 )f( x 1 ) x 2 x 1 >0  

となる.

x 2 x 1 に限りなく近づけると,平均変化率の値は,関数 f( x )  の x 1 における微分係数となる.式で表すと

f ( x 1 )= lim x 2 x 1 f( x 2 )f( x 1 ) x 2 x 1  

となる.

一方, x 2 x 1 に限りなく近づけても, x 1 < x 2 ならば f( x 1 )<f( x 2 )  の関係は保たれる.

よって

f ( x 1 )>0  

が成り立つ.関数が増加している区間の任意の数 x 1 x で置き換えてもよい.

したがって,関数 f( x )  が増加している区間では,微分係数 f ( x )   は

f ( x )>0  

が成り立つ.


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最終更新日: 2023年5月30日

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