オイラーの公式  

e ⅈθ =cosθ+ⅈsinθ  

■導出計算

e x  をマクローリン展開すると，

e x = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + 1 4 ! x 4 + ⋯ ⋯ + 1 n ! x n + ⋯ ⋯  ･･････(1)

(1)の x に形式的に ⅈθ を代入して計算してみると，

e ⅈ θ = 1 + ( ⅈ θ ) + 1 2 ! ( ⅈ θ ) 2 + 1 3 ! ( ⅈ θ ) 3 + 1 4 ! ( ⅈ θ ) 4 + 1 5 ! ( ⅈ θ ) 5 + 1 6 ! ( ⅈ θ ) 6 + 1 7 ! ( ⅈ θ ) 7 + ⋯ ⋯

= 1 + ⅈ θ − 1 2 ! θ 2 − 1 3 ! ⅈ θ 3 + 1 4 ! θ 4 + 1 5 ! ⅈ θ 5 − 1 6 ! θ 6 − 1 7 ! ⅈ θ 7 + ⋯ ⋯

= ( 1 − 1 2 ! θ 2 + 1 4 ! θ 4 − 1 6 ! θ 6 + ⋯ ⋯ ) + ⅈ θ− 1 3! θ 3 + 1 5! θ 5 − 1 7! θ 7 +⋯⋯  ･･････(2)

cosθ  のマクローリン展開は，

cosθ=1− 1 2! θ 2 + 1 4! θ 4 − 1 5! θ 6 +⋯⋯  ･･････(3)

sinθ  のマクローリン展開は，

sinθ=θ− 1 3! θ 3 + 1 5! θ 5 − 1 7! θ 7 +⋯⋯  ･･････(4)

(2)に(3)，(4)を代入すると，

e ⅈθ =cosθ+ⅈsinθ  

となり，オイラーの公式（Euler's Formula）が得られた．

複素数における指数関数の定義を参照

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最終更新日： 2022年12月15日