基底の変換 (transformation of basis)

$n$ 次元実ベクトル空間 $R^{n}$ の任意のベクトル $a$ が， $R^{n}$ のある基底 ${v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ を用いて

$a = a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} + \dots + a_{n} v_{n}$

と表されるとする．このベクトル $a$ が， $R^{n}$ の別の基底 ${v_{1}^{'}, v_{2}^{'}, \dots, v_{n}^{'}}$ を用いて，

$a = a_{1}^{'} v_{1}^{'} + a_{2}^{'} v_{2}^{'} + \dots + a_{n}^{'} v_{n}^{'}$

と表されるとき，行列 $T = {(\begin{matrix} v_{1} & v_{2} & \dots & v_{n} \end{matrix})}^{- 1} (\begin{matrix} v_{1}^{'} & v_{2}^{'} & \dots & v_{n}^{'} \end{matrix})$ とすると，これらの係数の間には1次変換

$(\begin{matrix} a_{1}^{'} \\ a_{2}^{'} \\ ⋮ \\ a_{n}^{'} \end{matrix}) = T^{- 1} (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix})$

の関係がある．また，線形写像 $f : R^{n} \to R^{n}$ によって $b = f (a)$ と変換されるとき，基底 ${v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ における $f$ の表現行列を $A$ とすると，

$b = b_{1} v_{1} + b_{2} v_{2} + \dots + b_{n} v_{n}$ $= b_{1}^{'} v_{1}^{'} + b_{2}^{'} v_{2}^{'} + \dots + b_{n}^{'} v_{n}^{'}$

$(\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix})$ ⇔ $(\begin{matrix} b_{1}^{'} \\ b_{2}^{'} \\ ⋮ \\ b_{n}^{'} \end{matrix}) = T^{- 1} A T (\begin{matrix} a_{1}^{'} \\ a_{2}^{'} \\ ⋮ \\ a_{n}^{'} \end{matrix})$

の関係がある．

以上のことから，基底の変換

$(\begin{matrix} v_{1}^{'} & v_{2}^{'} & \dots & v_{n}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} v_{1} & v_{2} & \dots & v_{n} \end{matrix}) T$

により，基底 ${v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ において成分表示で $(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix})$ と表されるベクトルは，別の基底 ${v_{1}^{'}, v_{2}^{'}, \dots, v_{n}^{'}}$ においては成分表示で $T^{- 1} (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix})$ と表され，基底 ${v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ における線形写像の表現行列 $A$ は，基底 ${v_{1}^{'}, v_{2}^{'}, \dots, v_{n}^{'}}$ において $T^{- 1} A T$ と表されることがわかる．

基底	${v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$	${v_{1}^{'}, v_{2}^{'}, \dots, v_{n}^{'}}$
変換行列	$T = {(\begin{matrix} v_{1} & v_{2} & \dots & v_{n} \end{matrix})}^{- 1} (\begin{matrix} v_{1}^{'} & v_{2}^{'} & \dots & v_{n}^{'} \end{matrix})$
ベクトルの成分表示	$a = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix})$	$a = (\begin{matrix} a_{1}^{'} \\ a_{2}^{'} \\ ⋮ \\ a_{n}^{'} \end{matrix}) = T^{- 1} (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix})$
1次変換	$(\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix})$	$(\begin{matrix} b_{1}^{'} \\ b_{2}^{'} \\ ⋮ \\ b_{n}^{'} \end{matrix}) = T^{- 1} A T (\begin{matrix} a_{1}^{'} \\ a_{2}^{'} \\ ⋮ \\ a_{n}^{'} \end{matrix})$

詳しい解説

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最終更新日： 2023年2月9日