相関係数と共分散との関係

相関係数 $r$ の計算式は

$r = \frac{s_{x y}}{s_{x} s_{y}}$

$s_{x}$ ：変量 $X$ の標準偏差， $s_{y}$ ：変量 $Y$ の標準偏差， $s_{x y}$ ：変量 $X$ と $Y$ の共分散

によって求められる。この相関係数 $r$ は，変量 $X$ と $Y$ をそれぞれ標準化して得られる変量 $U$ と $V$ の共分散に等しい．

■解説

共分散の解説で使用した表と図を以下に再掲載する．

データ番号	$X$	$Y$
1	1.0	3.7
2	2.0	1.2
3	4.0	4.7
4	6.0	4.4
5	8.0	7.3
6	9.0	5.7

以下に表を使った分散，共分散の計算を示す．

データ番号	$X$	$Y$	$x_{i} - \bar{x}$	$y_{i} - \bar{y}$	${(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	${(y_{i} - \bar{y})}^{2}$	$(x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$
1	1.0	3.5	-4.0	-1.0	16.0	1.0	4.0
2	2.0	1.5	-3.0	-3.0	9.0	9.0	9.0
3	4.0	5.1	-1.0	0.6	1.0	0.36	-0.6
4	6.0	3.9	1.0	-0.6	1.0	0.36	-0.6
5	8.0	6.3	3.0	1.8	9.0	3.24	5.4
6	9.0	6.7	4.0	2.2	16.0	4.84	8.8
平均	5.0	4.5	0	0	8.67･	3.137	4.33

計算結果は小数点以下第3位を四捨五入している．

変量 $X$ の分散 ${s_{x}}^{2} \approx 8.67$ ，変量 $Y$ の分散 ${s_{y}}^{2} \approx 3.13$ となる。 $X$ と $Y$ では散らばり具合も平均値も異なる。このままでは，2つの変量の関係を共通の尺度でとらえにくい。そこで，

$u_{i} = \frac{x_{i} - \bar{x}}{s_{x}} = \frac{1}{s_{x}} x_{i} - \frac{\bar{x}}{s_{x}}$

$v_{i} = \frac{y_{i} - \bar{y}}{s_{y}} = \frac{1}{s_{y}} y_{i} - \frac{\bar{y}}{s_{y}}$

のように変量 $X$ を変量 $U$ に，変量 $Y$ を変量 $V$ に変換（標準化）すると，それぞれの平均と分散は

$\bar{u} = \frac{1}{s_{x}} \bar{x} - \frac{\bar{x}}{s_{x}} = 0$ ， $s_{u}^{2} = {(\frac{1}{s_{x}})}^{2} s_{x}^{2} = 1$

$\bar{v} = \frac{1}{s_{y}} \bar{y} - \frac{\bar{y}}{s_{y}} = 0$ ， $s_{v}^{2} = {(\frac{1}{s_{y}})}^{2} s_{y}^{2} = 1$

となる。したがって，変量 $U$ と $V$ は，どちらも平均が 0，分散が 1 の変量になる。

変換したデータによる表と図は以下のようになる．

データ番号	$U$	$V$
1	-1.36	-0.56
2	-1.02	-1.69
3	0.34	0.34
4	0.34	0.34
5	1.02	1.02
6	1.36	1.24

計算結果は小数点以下第3位を四捨五入している．

データ番号	$U$	$V$	${u_{i}}^{2}$	${v_{i}}^{2}$	$u_{i} v_{i}$
1	-1.36	-0.56	1.85	0.32	0.77
2	-1.02	-1.69	1.04	2.87	1.73
3	-0.34	0.34	0.12	0.11	-0.12
4	0.34	-0.34	0.12	0.11	-0.12
5	1.02	1.02	1.04	1.03	1.04
6	1.36	1.24	1.85	1.54	1.69
平均	0	0	1	1	0.83

計算結果は小数点以下第3位を四捨五入している．

$s_{u v} = \frac{1}{n} (u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + \dots + u_{n} v_{n})$

$= \frac{1}{n} (\frac{x_{1} - \bar{x}}{s_{x}} \cdot \frac{y_{1} - \bar{y}}{s_{x}} + \frac{x_{2} - \bar{x}}{s_{x}} \cdot \frac{y_{2} - \bar{y}}{s_{x}} + \dots + \frac{x_{n} - \bar{x}}{s_{x}} \cdot \frac{y_{n} - \bar{y}}{s_{x}})$

$= \frac{1}{s_{x} s_{y}} \cdot \frac{1}{n} \{(x_{1} - \bar{x}) (y_{1} - \bar{y}) + (x_{2} - \bar{x}) (y_{2} - \bar{y}) + \dots + (x_{n} - \bar{x}) (y_{n} - \bar{y})\}$

$= \frac{s_{x y}}{s_{x} s_{y}}$

このように，変量 $U$ と $V$ の共分散は変量 $X$ と $Y$ の相関係数になる．

相関係数 $r$ の範囲は

$- 1 ≦ r ≦ 1$ ⇒ ここを参照

となる．

相関係数 $r$ が最大値 $1$ となるのは， $u_{i} = v_{i}$ のとき，相関係数 $r$ が最小値 $1$ となるのは， $u_{i} = - v_{i}$ のとき，である．

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最終更新日：2026年3月14日