XYが独立な確率変数の場合: E XY =E Y E Y

独立な2つの確率変数 X Y について

E XY =E Y E Y  ・・・・・・(1)

が成り立つ.

■証明

確率関数 f x g y を以下のように定める.

P X= x i =f x i

P Y= y j =g y j

P X= x i Y= y j =h x i , y j h x , y

XYが独立であることより

h x i , y j =f x i g y j

が成り立つ.この関係を利用して,以下のように証明をする.

E XY = i=1 m j=1 n x i y j h x i , y j

= i=1 m j=1 n x i y j f x i g y j

= i=1 m x i f x i j=1 n y j g y j

= i=1 m x i f x i j=1 n y j g y j

=E X +E Y

 

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最終更新日: 2024年2月23日