EX+Y=EX+EY

2つの確率変数 X Y について

EX+Y=EX+EY ・・・・・・(1)

が成り立つ.

■証明

h x i , y j =P X= x i Y= y j  ・・・・・・(2)

j=1 n h x i , y j = j=1 n P X= x i ,Y= y j =P X= x i =f x i  ・・・・・・(3)

i=1 m h x i , y j = i=1 m P X= x i ,Y= y j =P Y= y i =g y j  ・・・・・・(4)

と定義する.

平均(期待値)の定義より

E X+Y = i=1 m j=1 n x i + y j h x i , y j

= i=1 m j=1 n x i h x i , y j + y j h x i , y j

= i=1 m j=1 n x i h x i , y j + i=1 m j=1 n y j h x i , y j

= i=1 m x i j=1 n h x i , y j + j=1 n y j i=1 m h x i , y j

(3),(4)より

= i=1 m x i f x i + j=1 n y j g y j

=E X +E X

 

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最終更新日: 2024年2月23日