VaX=a2VX

確率変数 X について

VaX=a2VX

が成り立つ.

■証明

まず

μ=E X  (ここでは,平均(期待値) x ¯ ではなく μ を使うことにする.)

η=E aX =aE X =aμ

とする.

●離散型確率変数の場合

分散の定義

V X = i=1 n x i μ 2 f x i

より

V aX = i=1 n a x i η 2 f x i

= i=1 n a x i aμ 2 f x i

= i=1 n a x i μ 2 f x i

= i=1 n a 2 x i μ 2 f x i

= a 2 i=1 n x i μ 2 f x i

= a 2 V X

●連続型確率変数の場合

分散の定義

V X = x i μ 2 f x i dx

より

V X = a x i η 2 f x i f x i dx

= a x i aμ 2 f x i f x i dx

= a x i μ 2 f x i f x i dx

= a 2 x i μ 2 f x i f x i dx

= a 2 x i μ 2 f x i f x i dx

= a 2 V X

 

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最終更新日: 2024年2月23日