VaX+bY=a2VX+2abCX,Y+b2VX

2つの確率変数 X Y について

VaX+bY=a2VX+2abCX,Y+b2VX  ・・・・・・(1)

が成り立つ.

■証明

E X = μ x  ・・・・・・(2)

E Y = μ y  ・・・・・・(3)

とする.

分散の定義より

V aX+bY =E aX+bY a μ x +b μ y 2

=E aX+bY 2 E a μ x +b μ y 2

V X =E X 2 E X 2  (分散を参照)

=E a 2 X 2 +2abXY+ b 2 Y 2 a μ x +b μ y 2

=E a 2 X 2 +E 2abXY +E b 2 Y 2 a 2 μ x 2 2ab μ x μ y b 2 μ y 2

= a 2 E X 2 a 2 μ x 2 +2abE XY 2ab μ x μ y + b 2 E Y 2 b 2 μ y 2

= a 2 E X 2 μ x 2 +2ab E XY μ x μ y +2ab E XY μ x μ y

= a 2 V X +2abC X,Y + b 2 V X

∵  V X =E X 2 E X 2 C X,Y =E XY E X E Y

 

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最終更新日: 2024年2月23日