回帰係数の確率分布(線形単回帰)

${\epsilon }_i$を確率変数とし， ${\displaystyle E\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b}$ の関係を使って計算すると

${\displaystyle ={\beta }_0+\sum _{i=1}^n\left\{{\displaystyle \frac{1}{n}}-\frac{\left(x_i-\overline{x}\right)\overline{x}}{\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}\right\}E\left({\epsilon }_i\right)}$

$E\left({\epsilon }_i\right)=0$と仮定していることより

${\displaystyle ={\beta }_0}$

${\displaystyle E\left({\widehat{\beta }}_1\right)=E\left({\beta }_1+\frac{\sum _{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right){\epsilon }_i}{\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}\right)}$

${\epsilon }_i$を確率変数とし， ${\displaystyle E\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b}$ の関係を使って計算すると

${\displaystyle =E\left({\beta }_1\right)+E\left(\frac{\sum _{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right){\epsilon }_i}{\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}\right)}$

${\displaystyle ={\beta }_1+\frac{\sum _{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)E\left({\epsilon }_i\right)}{\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}}$

$E\left({\epsilon }_i\right)=0$と仮定していることより

${\displaystyle ={\beta }_1}$

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　最終更新日： 2026年7月13日