分散共分散行列 (variance-covariance matrix)

m 個の確率変数 X 1 ， X 2 ， ･･･， X m があり

データNo. データ X 1 データ X 2 ･･･ データ X m
1 x 11 x 12 ･･･ x 1 m
2 x 21 x 22 ･･･ x 2 m
3 x 31 x 32 ･･･ x 3 m
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
n x n 1 x n 2 ･･･ x n m

x j ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i j

σ x j 2 = 1 n ∑ i = 1 n x i j − x j ¯ 2

σ x j x k = 1 n ∑ i = 1 n x i j − x j ¯ x i k − x k ¯

とすると

σ x 1 2 σ x 1 x 2 ⋯ σ x 1 x m σ x 2 x 1 σ x 2 2 ⋯ σ x 2 x m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ σ x m x 1 σ x m x 2 ⋯ σ x m 2   ･･････(1)

で表される行列を分散共分散行列という．

■確率ベクトルを使った表記

確率ベクトル

X = X 1 X 2 ⋮ X 3

を用いると，分散共分散行列 Σ は

Σ = Var X = E X − E X X − E X t   ･･････(2)

になる．

(2)をさらに計算を進めると

E X − E X X − E X t

= E X 1 − E X 1 X 2 − E X 2 ⋮ X m − E X 2 X 1 − E X 1 X 2 − E X 2 ⋮ X m − E X 2 t

= E X 1 − E X 1 X 1 − E X 1 X 1 − E X 1 X 2 − E X 2 ⋯ X 1 − E X 1 X m − E X m X 2 − E X 2 X 1 − E X 1 X 2 − E X 2 X 2 − E X 2 ⋯ X 2 − E X 2 X m − E X m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ X m − E X m X 1 − E X 1 X m − E X m X 2 − E X 2 ⋯ X m − E X m X m − E X m

= E X 1 − E X 1 X 1 − E X 1 E X 1 − E X 1 X 2 − E X 2 ⋯ E X 1 − E X 1 X m − E X m E X 2 − E X 2 X 1 − E X 1 E X 2 − E X 2 X 2 − E X 2 ⋯ E X 2 − E X 2 X m − E X m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ E X m − E X m X 1 − E X 1 E X m − E X m X 2 − E X 2 ⋯ E X m − E X m X m − E X m

= Var X 1 Cov X 1 , X 2 ⋯ Cov X 1 , X m Cov X 2 , X 1 Var X 2 ⋯ Cov X 2 , X m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ Cov X m , X 1 Cov X m , X 2 ⋯ Var X m

 

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　最終更新日： 2026年9月25日