カイ2乗分布シミュレーション教材

乱数を使った実験を通して， $χ^{2}$ 分布が「どのように生まれ」「理論とどう一致するか」を体感するためのシミュレーション教材．

1 このアプリは何をするもの？

「標準正規乱数を $n$ 個 2乗して足す」という操作を，コンピュータで何度も繰り返すシミュレーターである

サイコロを何度も振ると出目の割合が理論値に近づくように，このアプリでは $χ^{2}$ 値をたくさんサンプリングして度数分布（ヒストグラム）を作る．そして，その相対度数が 理論的な $χ^{2}$ 確率密度曲線 にどんどん近づいていく様子を，表とグラフで確認できる．

この 1 回で得られる合計値 $x$ が，自由度 $n$ の $χ^{2}$ 分布に従う 1 つのサンプルです．これを何百・何千回と集めて分布を描く．

「カイ2乗分布のExcel教材」をWeb ページで再現している．

このシミュレーションを通じて，次のことが体験的に理解できる．

$χ^{2}$ 分布は「標準正規乱数の 2乗和」として作られる，という定義そのものを手を動かして確認できる．

試行回数を増やすほど，相対度数（実測）が理論の確率密度に近づくことを実感できる．

自由度 $n$ を変えると分布の形（山の位置や広がり）がどう変化するかが分かる．

度数 → 相対度数 → 確率密度という，データを分布として捉える流れを学べる．

標本平均が理論平均 $n$ に，標本分散が理論値 $2 n$ に近づくことを確認できます．

逆関数法（一様乱数→正規乱数）でランダムサンプルを作る方法に触れられる．

互いに独立な標準正規分布 $N (0, 1)$ に従う $n$ 個の変数 $Z_{1}, \dots, Z_{n}$ の $2$ 乗和が従う分布である．

x = Z_{1}^{2} + Z_{2}^{2} + \dots + Z_{n}^{2} \sim Z^{2} (n)

この $n$ を「自由度（degrees of freedom）」と呼ぶ．自由度 $n$ の $χ^{2}$ 分布の確率密度関数（＝アプリの「計算値」列）は次の式である．

f (x) = \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} Γ (\frac{n}{2})} x^{\frac{n}{2} - 1} e^{- \frac{x}{2}} (x > 0)

ここで $Γ$ はガンマ関数である．分布の重要な性質は次のとおり．

$χ^{2}$ 分布は，統計的検定（適合度検定・独立性の検定）や分散の推定など，実務で非常によく使われる分布である．まず「どんな形の分布なのか」を体で覚えることが本教材のねらいである．

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最終更新日：2026年9月13日