同時確率分布

2つの確率変数 $X$ ， $Y$ のとる値とその確率の与え方を表すものを，確率変数 $X$ ， $Y$ の同時確率分布という。 その表し方は，確率変数が離散型か連続型かで異なる。

■離散型確率変数の場合

離散型確率変数 ${\displaystyle X,Y}$ について

${\displaystyle h\left(x_i,y_j\right)=P\left(X=x_i,Y=y_j\right)}$ ${\displaystyle \left(i=1,\cdot \cdot \cdot ,n;j=1,\cdot \cdot \cdot ,m\right)}$

により定まる関数 ${\displaystyle h\left(x,y\right)}$ を確率変数 ${\displaystyle X,Y}$ の同時確率関数という．

同時確率関数 ${\displaystyle h\left(x,y\right)}$ について

${\displaystyle \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}h\left(x_i,y_j\right)=1}$

が成立する．また

${\displaystyle f\left(x\right)={\displaystyle \sum }_{j=1}^{m}h\left(x,y_j\right)}$

${\displaystyle g\left(y\right)={\displaystyle \sum }_{i=1}^{n}h\left(x_i,y\right)}$

を，それぞれ， $X$ および $Y$ の周辺確率関数という．

参考：${\displaystyle f\left(x\right)}$ は確率変数$X$の値のみ抽出した形になるので，確率変数$X$の確率関数と同じになる． ${\displaystyle g\left(y\right)}$ も同様に確率変数$Y$の確率関数と同じになる．

$X$ と $Y$の取り得る任意の $x$ ， $y$ において

${\displaystyle h\left(x,y\right)=f\left(x\right)g\left(y\right)}$

が成立するとき， $X$ と $Y$ は独立であるという．

■連続型確率変数の場合

${\displaystyle D}$ を ${\displaystyle xy}$ 面上の領域とする．2つの連続型確率変数 ${\displaystyle X,Y}$ について

${\displaystyle P\left(\left(X,Y\right)\in D\right)={\iint }_{D}h\left(x,y\right)dxdy}$

が成立するとき， ${\displaystyle h\left(x,y\right)}$ を ${\displaystyle X,Y}$ の同時確率密度関数という．

同時確率密度関数 ${\displaystyle h\left(x,y\right)}$ について

${\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }h\left(x,y\right)dxdy=1}$

が成立する．また

${\displaystyle f\left(x\right)={{\displaystyle \int }}_{-\infty }^{+\infty }h\left(x,y\right)dy}$

${\displaystyle g\left(y\right)={{\displaystyle \int }}_{-\infty }^{+\infty }h\left(x,y\right)dx}$

を，それぞれ， $X$ および $Y$ の周辺確率密度関数という．

参考：${\displaystyle f\left(x\right)}$ は確率変数$X$の値のみ抽出した形になるので，確率変数$X$の確率密度関数と同じになる． ${\displaystyle g\left(y\right)}$ も同様に確率変数$Y$の確率密度関数と同じになる．

${\displaystyle P\left(X\leqq x,Y\leqq y\right)}$ ${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{-\infty }^x{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{y}h\left(x,y\right)dxdy}}=H\left(x,y\right)}$

が成立するとき， ${\displaystyle H\left(x,y\right)}$ を ${\displaystyle X,Y}$ の同時分布関数という．

${\displaystyle F\left(x\right)={{\displaystyle \int }}_{-\infty }^{x}f\left(x\right)dx}$

${\displaystyle G\left(y\right)={{\displaystyle \int }}_{-\infty }^{y}g\left(y\right)dy}$

を，それぞれ， $X$ および $Y$ の周辺分布関数という．

参考：${\displaystyle f\left(x\right)}$ は確率変数$X$の値のみ抽出した形になるので，確率変数$X$の分布関数と同じになる． ${\displaystyle g\left(y\right)}$ も同様に確率変数$Y$の分布関数と同じになる．

任意の $x$ ， $y$ において

${\displaystyle h\left(x,y\right)=f\left(x\right)g\left(y\right)}$

${\displaystyle H\left(x,y\right)=F\left(x\right)G\left(y\right)}$

が成立するとき， $X$ と $Y$ は独立であるという．

　

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最終更新日： 2026年4月8日