$χ^{2}$ 分布のパーセント点

自由度 $n$ と確率 $α$ を入力すると， $P (X \geq χ_{n}^{2} (α)) = α$ となる $χ_{n}^{2} (α)$ を求める．グラフ上の点をドラッグすると，逆に $α$ が求まる．

入力自由度と確率

自由度

n

1 〜 1000 の整数

確率

α

0 < α < 1

$α$	$χ_{n}^{2} (α)$

行をクリックするとその

α

を入力する．

χ^{2}

分布（自由度 10）上側の面積

= α

赤い点を左右にドラッグすると，その位置を

χ_{n}^{2} (α)

とする

α

が求まる．

自由度 $n$ の $χ^{2}$ 分布の確率密度関数は

f (x) = \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} Γ (\frac{n}{2})} x^{\frac{n}{2} - 1} e^{- \frac{x}{2}} (x > 0)

である．上側確率は正則化上側不完全ガンマ関数 $Q (a, x)$ を用いて

P (X ≧ x) = Q (\frac{n}{2}, \frac{x}{2})

と表せる．この値は $x$ について単調に減少するので，二分法で $P (X \geq x) = α$ を満たす $x$ を求めている．Excel では CHISQ.INV.RT(α, n) が同じ値を返す．

母分散の区間推定（信頼係数 $1 - α$ ）では， $χ_{n}^{2} (1 - \frac{α}{2})$ と $χ_{n}^{2} (\frac{α}{2})$ の2つの値を用いる．