$F$ 分布のパーセント点

自由度 $(n_{1}, n_{2})$ と確率 $α$ を入力すると， $P (F \geq F_{n_{2}}^{n_{1}} (α)) = α$ となる $F_{n_{2}}^{n_{1}} (α)$ を求める．グラフ上の点をドラッグすると，逆に $α$ が求まる．

入力自由度と確率

分子の自由度

n_{1}

1 〜 1000 の整数

分母の自由度

n_{2}

1 〜 1000 の整数

確率

α

0 < α < 1

上の2つの参考値は常に等しい（

F_{n_{2}}^{n_{1}} (1 - α) = 1 / F_{n_{1}}^{n_{2}} (α)

）．

$α$	$F_{n_{2}}^{n_{1}} (α)$

行をクリックするとその

α

を入力する．

F

分布（自由度 5, 10）上側の面積

= α

赤い点を左右にドラッグすると，その位置を

F_{n_{2}}^{n_{1}} (α)

とする

α

が求まる．

自由度 $(n_{1}, n_{2})$ の $F$ 分布の確率密度関数は

f (x) = \frac{1}{B (\frac{n_{1}}{2}, \frac{n_{2}}{2})} {(\frac{n_{1}}{n_{2}})}^{\frac{n_{1}}{2}} x^{\frac{n_{1}}{2} - 1} {(1 + \frac{n_{1}}{n_{2}} x)}^{- \frac{n_{1} + n_{2}}{2}} (x > 0)

である（ $B$ はベータ関数）．上側確率は正則化不完全ベータ関数 $I_{x} (a, b)$ を用いて

P (F ≧ x) = I_{\frac{n_{2}}{n_{2} + n_{1} x}} (\frac{n_{2}}{2}, \frac{n_{1}}{2})

と表せる．この値は $x$ について単調に減少するので，二分法で $P (F \geq x) = α$ を満たす $x$ を求めている．Excel では F.INV.RT(α, n₁, n₂) が同じ値を返す．

等分散の検定などで下側のパーセント点が必要なときは，関係式 $F_{n_{2}}^{n_{1}} (1 - α) = \frac{1}{F_{n_{1}}^{n_{2}} (α)}$ を用いて上側のパーセント点から求められる．