標準正規分布の確率

確率変数 $X$ が標準正規分布 $N (0, 1)$ に従うとき， $a$ を入力すると， $p = P (0 \leq X \leq a)$ を求める．グラフ上の点をドラッグして $a$ を変えることもできる．

入力区間の右端

a

の値 0 ≦ a ≦ 10

$p = P (0 \leq X \leq a)$ –
$P (X \leq a) = 0.5 + p$ –
$P (X \geq a) = 0.5 - p$ –
$P (- a \leq X \leq a) = 2 p$ –

表主な $a$ の値

$a$	$P (0 \leq X \leq a)$

行をクリックするとその

a

を入力する．

グラフ標準正規分布の確率密度関数

標準正規分布

N (0, 1)

面積

= p

赤い点を左右にドラッグすると，その位置を

a

とする

p

が求まる．

解説計算の方法

標準正規分布の確率密度関数は

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{x^{2}}{2}}

であり，求める確率はグラフの塗りつぶした部分の面積

p = \int_{0}^{a} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x

である．この積分は初等関数で表せないため，正則化不完全ガンマ関数 $P (s, x)$ を用いた関係式 $p = \frac{1}{2} P (\frac{1}{2}, \frac{a^{2}}{2})$ によって数値的に求めている．これは正規分布表の値と同じであり，Excel では NORM.S.DIST(a, TRUE) − 0.5 が同じ値を返す．

密度関数は $y$ 軸について対称なので， $P (- a \leq X \leq 0)$ も $p$ に等しい．

入力区間の右端

表主なaの値

グラフ標準正規分布の確率密度関数

解説計算の方法

表主な $a$ の値