$C (X, Y)$ $= E (X Y) - E (X) E (Y)$

2つの確率変数 $X$ ， $Y$ について

$C (X, Y)$ $= E (X Y) - E (X) E (Y)$ 　･･････(1)

が成り立つ．

■証明

$E (X) = μ_{x}$ 　･･････(2)

$E (Y) = μ_{y}$ 　･･････(3)

とする．

共分散の定義より

$C (X, Y)$ $= E ((X - μ_{x}) (Y - μ_{y}))$

$= E (X Y - μ_{x} Y - μ_{y} X + μ_{x} μ_{y})$

$= E (X Y) - E (μ_{x} Y) - E (μ_{y} X) + E (μ_{x} μ_{y})$

$= E (X Y) - μ_{x} E (Y) - μ_{y} E (X) + μ_{x} μ_{y}$

$= E (X Y) - E (X) E (Y) - E (X) E (Y) + E (X) E (Y)$

$= E (X Y) - E (X) E (Y)$

となる．

　最終更新日： 2026年3月30日