$C (X + a, Y + b)$ $= C (X, Y)$

2つの確率変数 $X$ ， $Y$ について

ただし， $a$ ， $b$ は定数とする．

が成り立つ．

■証明

共分散の定義より

$C (X + a, Y + b)$ $= E (\{(X + a) - E (X + a)\} \{(Y + b) - E (Y + b)\})$

$= E ([(X + a) - \{E (X) + E (a)\}] [(Y + b) - \{E (Y) + E (b)\}])$

$= E ([(X + a) - \{E (X) + a\}] [(Y + b) - \{E (Y) + b\}])$

$= E (\{X - E (X)\} \{Y - E (Y)\})$

$= C (X, Y)$

となる．

　最終更新日： 2026年7月9日