3次関数のグラフ

3次関数を表す一般式は

$y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ ･･････(1)

である．

⇒ $x$ 軸との交差の仕方による分類

⇒導関数の判別式による分類

■3次関数のグラフ

下のグラフは(1)の3次関数のグラフを描いたものである．3次関数の係数 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ を右上のスライダー用いて変化させるとグラフが変化する．

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■ $x$ 軸との交差の仕方による分類

3次関数のグラフは少なくとも $x$ 軸と1点で交差する．その交差点を $(α, 0)$ とすると3次関数は

$y = a (x - α) (x^{2} + b x + c)$ ･･････(2)

と表される．3次関数の特徴を $x^{2} + b x + c = 0$ の判別式の値で分類する．

● $D = b^{2} - 4 c > 0$ ，異なる実数解 $β$ ， $γ$ （ただし， $β \neq α$ ， $γ \neq α$ ）を持つ場合

3次関数は $x$ 軸と3点 $(α, 0)$ ， $(β, 0)$ ， $(γ, 0)$ で交差する．(2)は以下のようになる．

$y = a (x - α) (x - β) (x - γ)$ ･･････(3)

$a$ ， $α$ ， $β$ ， $γ$ は定数．ただし， $a \neq 0$ ， $α \neq β$ ， $β \neq γ$ ， $γ \neq α$

● $D = b^{2} - 4 c = 0$ ，重解 $β$ を持つ場合

$β \neq α$ のとき
$x$ 軸と点 $(α, 0)$ で交差し，点 $(β, 0)$ で接する．(2)は以下のようになる．

$y = a (x - α) {(x - β)}^{2}$ ･･････(4)

$a$ ， $α$ ， $β$ は定数．ただし， $a \neq 0$ ， $α \neq β$

(4)の導関数を求める．

$y^{'} = a {(x - α)}^{'} {(x - β)}^{2}$ $+ a (x - α) {\{{(x - β)}^{2}\}}^{'}$

$= a {(x - β)}^{2}$ $+ a (x - α) \cdot 2 (x - β)$

$= a (x - β) \{(x - β) + 2 (x - α)\}$

$= a (x - β) (3 x - 2 α - β)$ ･･････(5)

したがって， $x = β$ で $y = 0$ ， $y^{'} = 0$ より，点 $(β, 0)$ で $x$ 軸と接する．
$β = α$ のとき
$x$ 軸と点 $(α, 0)$ で交差するが，点 $(α, 0)$ における接線の傾きはゼロになっている．(2)は以下のようになる．

$y = a {(x - α)}^{3}$ ･･････(6)

$a$ ， $α$ は定数．ただし， $a \neq 0$

(6)の導関数，第2次導関数を求める．

$y^{'} = 3 a {(x - α)}^{2}$ ･･････(7)

$y^{″} = 6 a (x - α)$ ･･････(8)

したがって， $x = α$ で $y = 0$ ， $y^{'} = 0$ ， $y^{″} = 0$ より，点 $(α, 0)$ は変曲点で $x$ 軸と点 $(α, 0)$ で交差するが，点 $(α, 0)$ における接線の傾きはゼロになっている．

● $D = b^{2} - 4 c < 0$ ，実数解を持たない場合

$x$ 軸と点 $(α, 0)$ で交差する．(2)は以下のようになる．

$y = a (x - α) (x^{2} + b x + c)$ ･･････(6)

$a$ ， $b$ ， $c$ ， $α$ は定数．ただし， $a \neq 0$

下のグラフは以下の3つの関数のグラフを描いたものである．3次関数の係数 $a$ ， $e$ ， $f$ ， $g$ を右上のスライダー用いて変化させるとグラフが変化する．

緑線： $y_{1} = a (x - e)$ ･･････(7)

青線： $y_{2} = \{{(x - f)}^{2} + g\}$ ･･････(8)

赤線： $y = y_{1} \cdot y_{2}$ $= a (x - e) \{{(x - f)}^{2} + g\}$ ･･････(9)

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■導関数の判別式による分類

$y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$

$y^{'} = f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$

$= 3 a (x^{2} + \frac{2 b}{3 a} x) + c$

$= 3 a \{x^{2} + \frac{2 b}{3 a} x + {(\frac{b}{3 a})}^{2} - {(\frac{b}{3 a})}^{2}\} + c$

$= 3 a {(x + \frac{b}{3 a})}^{2} - 3 a {(\frac{b}{3 a})}^{2} + c$

$= 3 a {(x + \frac{b}{3 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 3 b c}{3 a}$

$y^{″} = f^{″} (x) = 6 a x + 2 b$ $= 6 a (x + \frac{b}{3 a})$

導関数の判別式 $\frac{D}{4} = b^{2} - 3 a c$ で3次関数グラフの特徴を分類する.

● $\frac{D}{4} = b^{2} - 3 a c > 0$ ，導関数が異なる実数解 $α = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 3 b c}}{3 a}$ ， $β = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 3 b c}}{3 a}$ を持つ場合： $y^{'} = 3 a (x - α) (x - β)$

$x = α, β$ で極値を持つ．点 $(μ, f (μ))$ は変曲点．

◆ $a > 0$ ， $α < β$ とすると増減表は以下のようになる．

$x$	$\dots$	$α$	$\dots$	$μ$	$\dots$	$β$	$\dots$
$y^{'}$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$y^{″}$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$y$		極大値		$f (μ)$		極小値

◆ $a < 0$ ， $α < β$ とすると増減表は以下のようになる．

$x$	$\dots$	$α$	$\dots$	$μ$	$\dots$	$β$	$\dots$
$y^{'}$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$
$y^{″}$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$
$y$		極小値		$f (μ)$		極大値

● $\frac{D}{4} = b^{2} - 3 a c = 0$ ，導関数が重解 $μ = - \frac{b}{3 a}$ を持つ場合： $y^{'} = 3 a {(x - μ)}^{2}$

極値を持たない．点 $(μ, f (μ))$ は変曲点．

◆ $a > 0$ とすると増減表は以下のようになる．

$x$	$\dots$	$μ$	$\dots$
$y^{'}$	$+$	$0$	$+$
$y^{″}$	$-$	$0$	$+$
$y$		$f (μ)$

◆ $a < 0$ とすると増減表は以下のようになる．

$x$	$\dots$	$μ$	$\dots$
$y^{'}$	$-$	0	$-$
$y^{″}$	$+$	$0$	$-$
$y$		$f (μ)$

● $\frac{D}{4} = b^{2} - 3 a c < 0$ ，導関数が実数解を持たない場合

極値を持たない．点 $(μ, f (μ))$ は変曲点．

◆ $a > 0$ とすると増減表は以下のようになる．

$x$	$\dots$	$μ$	$\dots$
$y^{'}$	$+$	$+$	$+$
$y^{″}$	$-$	$0$	$+$
$y$		$f (μ)$

◆ $a < 0$ とすると増減表は以下のようになる．

$x$	$\dots$	$μ$	$\dots$
$y^{'}$	$-$	$-$	$-$
$y^{″}$	$+$	$0$	$-$
$y$		$f (μ)$

■点対称のグラフ

$y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ のグラフは，変曲点 $(μ, f (μ))$ に関して対称(点対称)である．⇒証明

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最終更新日： 2025年4月27日

3次関数のグラフ

■3次関数のグラフ

■ x 軸との交差の仕方による分類

● D = b 2 − 4 c > 0 ，異なる実数解 β ， γ （ただし， β ≠ α ， γ ≠ α ）を持つ場合

● D = b 2 − 4 c = 0 ，重解 β を持つ場合

● D = b 2 − 4 c < 0 ，実数解を持たない場合